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点到平面距离的求法归类 江苏省姜堰中学 张圣官（225500） 立体几何中的一题多解可以巩固基础知识，培养学生的发散性思维。求一点到一个平面的距离是立体几何中的重要题型，要顺利地求得结果，往往需要多方面知识综合作用。本文结合一道典型例题来总结求点到直线距离的几种常用方法。 [例] 在三棱锥B—ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱长AC CD AD AB 1，且∠BAD 300，求点D到平面ABC的距离。 解法1（作垂线法）过B作BE⊥AD于E，∵面ABD⊥面ACD，∴BE⊥面ACD， 过E作EF⊥AC于F，连结BF，则BF⊥AC，∴AC⊥面BEF， 过E作EH⊥BF于H，则EH⊥AC，∴EH⊥面ABC 。 在平面AEH内过D作DG∥EH交AH延长线于G，则DG⊥面ABC，DG即为所求距离。 在RtΔBAE中， ， 在RtΔAEF中， ， ∴在RtΔBEF中， 又 ∴EH 由∽得，即点D到平面ABC的距离是 。 解法2（寻找垂面法）过B作BE⊥AD于E，过D作DN∥BE交AB的延长线于N，面ABD⊥面ACD，∴BE⊥面ACD， 因此DN⊥面ACD。过D作DM⊥AC于M，连NM。过D作DG⊥MN于G，则DM为MN在面ACD上的射影。 ∴MN⊥AC，AC⊥面DMN，∴AC⊥DG， ∴DG⊥面MAC，DG⊥面ABC，DG即为所求距离。 在RtΔBAE中， ， ∵∽ ， ∴ 。 在正ΔACD中DM⊥AC，∴M为AC中点，DM ， ∴中， 由得，，即点D到 平面ABC的距离是 。 解法3（线面平行转移法）过B作BE⊥AD于E，面ABD⊥面ACD，∴BE⊥面ACD。作EF⊥AC于F，连BF，EF为BF在面ACD上的射影，∴BF⊥AC，AC⊥面BEF 。 过E作EH⊥BF于H，∴AC⊥EH，∴EH⊥ABC 。 过D作DK∥AC交FE延长线于K，∴DK∥面ABC 。过K作KG∥EH交BF于G，∴KG⊥面ABC ， KG为DK到面ABC的距离，即为点D到面ABC的距离。 在RtΔBAE中， ， 在RtΔAEF中， ， ∴在RtΔBEF中， 又 ∴EH 过D作DM⊥AC，在正ΔACD中，M为AC中点，DM ， 显然KFMD为平行四边形，∴FK DM 。 又∽，∴，即点D到平面ABC的距离是。 解法4（等体积法）过B作BE⊥AD于E，面ABD⊥面ACD，∴BE⊥面ACD，AE为AB在面ACD上的射影。 设，则 ， ∴ 。 过B作BF⊥AC于F，则 。 在RtΔABE中， 。 设DD到平面ABC的距离为h，则有 将数据代入，得，即点D到平面ABC的距离是。 [评注]本解法虽然用到了后面才学到的三棱锥体积公式，但简单易懂，方便快捷。 解法5（向量法）要求平面外一点P到平面的距离， 可以在平面内任取一点A，则点P到平面的距离即为d （其中为平面的一个法向量）。（思考为什么？） 如图，以AD的中点O为原点，以OD、OC所在直线 为x轴、y轴，过O作OM⊥面ACD交AB于M，以直线OM为z轴建立空间直角坐标系，则A（），B（），C（），D（ ∴,, 设 x,y,z 为平面的一个法向量，则 ∴ ，可取 代入得，，即点D到平面ABC的距离是。 [评注]用向量法求点到平面的距离，具有较强的可操作性，应多加研究。 y x B C D A O z M