数列通项公式常法及构造法.doc

数列通项公式的常用求法 构造法求数列通项公式 一、构造等差数列求数列通项公式 运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为=A（其中A为常数）形式，根据等差数列的定义知是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出的通项公式，再根据与，从而求出的通项公式。 例1 在数列中，=，（），求数列通项公式. 解析：由得，an+1 an=3 an+1-3 an=0，两边同除以an+1 an得，， 设bn=，则bn+1- bn=，根据等差数列的定义知， 数列｛bn｝是首项b1=2，公差d=的等差数列， 根据等差数列的通项公式得bn=2＋（n-1）=n＋ ∴数列通项公式为an= 例2 在数列｛an｝中，Sn是其前n项和，且Sn≠0，a1=1，an=(n≥2)，求Sn与an。 解析：当n≥2时，an=Sn-Sn-1 代入an=得，Sn-Sn-1=，变形整理得Sn-Sn-1= SnSn-1？两边除以SnSn-1得，-=2，∴｛｝是首相为1，公差为2的等差数列 ∴=1+2（n-1）=2n-1, ∴ Sn=(n≥2),n=1也适合，∴Sn=(n≥1) 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-=-，n=1不满足此式， ∴an={ 二、构造等比数列求数列通项公式 运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为f（n+1）=Af（n）（其中A为非零常数）形式，根据等比数列的定义知是等比数列，根据等比数列的通项公式，先求出的通项公式，再根据与，从而求出的通项公式。 例3在数列｛an｝中，a1=2，an=an-12(n≥2)，求数列｛an｝通项公式。 解析：∵ a1=2，an=an-12(n≥2)＞0，两边同时取对数得，lg an=2lg an-1 ∴=2， 根据等比数列的定义知，数列｛lg an｝是首相为lg2，公比为2的等比数列，根据等比数列的通项公式得lg an=2n-1lg2= ∴数列通项公式为an= 评析：本例通过两边取对数，变形成形式，构造等比数列，先求出的通项公式，从而求出的通项公式。 例4在数列｛an｝中，a1=1，an+1=4an+3n+1，求数列｛an｝通项公式。 解析：设an+1+A（n+1）+B=4（an+An+B），（A、B为待定系数），展开得an+1=4an+3An+3B-A，与已知比较系数得{ ∴{ ∴an+1+（n+1）+=4（an+n+），根据等比数列的定义知， 数列｛an+n+｝是首项为，公比为q=3的等比数列，∴an+n+=×3n-1 ∴数列通项公式为an=×3n-1-n- 例5 在数列｛an｝中，a1=1 ，an+1an=4n ，求数列｛an｝通项公式。 解析：∵an+1an=4n ∴anan-1=4 n-1 两式相除得 =4 ， ∴a1，a3，a5……与a 2，a 4 ，a 6 ……是首相分别为a1，a 2 ，公比都是4的等比数列， 又∵a1=1，an+1an=4n ，∴a2=4 ∴an={ 三、等差等比混合构造法 数列有形如的关系，可在等式两边同乘以先求出 例6．设数列满足求 解：原条件变形为两边同乘以得. ∵ ∴ 四、辅助数列法 有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的数列为等差或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式。 例7.在数列中，，，，求。 解析：在两边减去，得 ∴ 是以为首项，以为公比的等比数列， ∴，由累加法得 = =…== = 练习 1、在数列｛an｝中，a1=1，an+1=3an+2n（n∈N*），求数列｛an｝通项公式。 解：由an+1=3an+2n（n∈N*）得，an+1+2n+1=3（an+2n）（n∈N*）， 设bn= an+2n 则bn+1=3bn，∴=3，根据等比数列的定义知， 数列｛bn｝是首相b1=3，公比为q=3的等比数列， 根据等比数列的通项公式得bn=3n，即an+2n=3n， ∴数列通项公式为an=3n-2n 注意：2n+1-2n=2n 2、在数列中，，，求数列的通项公式。 解：、由得，，根据等差数列的定义知，数列是首项为3，公差为3的等差数列，所以 ，所以 3、已知数列满足，，求 解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即 又， 4. 数列{a}满足a=1，a=a+1（n≥2），求数列{a}的通项公式。 解：由a=a+1（n≥2）得a－2=（a－2），而a－2=1－2=－1， ∴数列{ a－2}是以为公比，－1为首项的等比数列 ∴a－2=－（） ∴a=2－（） 5. 数列中，，求数列的通项公式。 解：由得设 比较系数得，解得或 若取，则有 ∴是以为公比，以为首项的等比数列 ∴ 由逐差法可得