数学建模：高考选取的层次分析.doc

高考志愿选取的层次分析 班级：数学（2）班 学号：1座机电话号码3 姓名：刘燕 正文 摘要：本文在提取大量数据的基础上，在综合考虑每年的各高校的录取分数线及平均分，运用概率统计和模糊数学的方法，将学校往年的录取分和考生的原始分转化为标准分，以排除每年考试的难易程度带来分数波动的影响。另外，运用层次分析法将各种因素纳入考虑算出权重。最后计算被录取的概率。最后，根据我们的研究分析，对考生填报志愿给出建议。 关键词：高考志愿 概率统计 模糊数学 层次分析 标准分 权重 1问题的提出： 高中毕业生在选报高考志愿时，通常要考虑到该学校的声誉、教学、科研及环境条件，同时又要结合本人的兴趣，考试成绩和毕业后的出路等因素，在每一因素中又有干扰子因素的情况下，做出最佳选择。 2模型的假设 首先，我们确定目标为：填报高考志愿（A），这里考虑的主要因素有：学校声誉（B1）、教学水平（B2）、学校环境（B3）、兴趣爱好（B4）、报考风险（B5）、毕业后出路（B6）、地理位置（B7），同时在教学水平（B2）中我们还要同时考虑教师水平（C1）、学生水平（C2）、教学设备（C3）这三个子因素。最后我们将从学生提出的四个志愿中，做出决策。 为了形象地表示出它们的关系，我们列出了它们之间的关系，如图 3建立模型 （一）构造成对比较阵 面临的决策问题是：要比较n个因素x1，x2…，xn，对目标A的影响，我们要确定它们在A中所占的比重，即这n个因素对目标A的相对重要性。我们用两两比较的方法将各因素重要性的定性部分数量化。 设有因素x1，x2…，xn每次取两个因素xi xj，用正数aij表示xi与xj的重要性之比。由全部比较结果得到矩阵A （aij），称作成对比较阵A。 显然有。 然后求出成对比较矩阵A的最大特征值及其对应的特征向量 Y y1,y2,…,yn T， 定义标准化向量 。 用标准化向量Y′来反应 这n个因素对目标A的相对重要性，Y′为同一层次中相应元素对于上一层次中某个因素相对重要性的排序权值。 （二）权向量 对于已知的成对比较阵A来说，有A?Y 。由矩阵运算法则可知：当n较大时，精确地计算成对比较A （aij）的最大特征值和特征向量比较麻烦，而又由于A中的元素aij是重要性的比值，而重要性是人们根据目标推测出来的，精确度并不高，所以没有必要十分精确地计算出 和特征向量。因此，可以采用下述方法来近似计算和相应的特征向量。 对成对比较阵A （aij），令 （*） 称U （U1，U2，…，Un）T为X x1，x2，…，xn 的权向量，它反映n个因素对目标A的相对重要性。经验证，U与Y′误差很小，所以一般都用U代替Y′。 对于公式（*）， 对于一致性矩阵，即满足aij?ajk aik Uk可以简化为 则 . Xi代表第i项因素的重要性指标。 4模型的求解 下面将调查两名学生（A1，A2），根据他们所提供的情况，建立一致性矩阵，帮助他们填报志愿。 设七种因素学校声誉、教学水平、学校环境、兴趣爱好、报考风险、毕业后出路、地理位置分别为B1，B2，…，B7。 在七种因素教学水平中设有三个子因素教师水平C1、学生水平C2、教学设备C3。学生所要报考的八个志愿分别为K1，K2，…，K8。 同时，设重要性指标为1～10，其中10为最重要的，1为最不重要的。 （一）考查学生A1（目标A1） 1 考虑B B1，B2，…，B7 这七个因素对目标A1的相对重要性。 B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 目标A1 10 9 5 7 10 10 2 U（x） （0.189,0.170,0.094,0.132,0.189,0.189,0.037）T。 2 考虑C C1，C2，C3 这三个因素对目标A1的相对重要性。 C1 C2 C3 目标A1 8 9 6 U（y） 0.348,0.391,0.261 T。 经调查学生A1所要选报的八个志愿为：北大国际金融、北大临床医学、北大生化、清华建筑、南开机电、北京体院、复旦物理、清华数学，分别设这八个志愿为K1，K2，…K8。 3 考虑对于因素C1，C2，…C3，比较K1，K2，…K8的相对差异。 K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 K8 因素C1 10 10 10 10 10 9 10 10 因素C2 10 10 10 10 9 6 8 10 因素C3 9 9 10 10 9 9 9 9 Wc1（K） （0.127,.0.127,0.127,0.127,0.127,0.111,0.127,0.127）T, Wc2 K 0.137,0.137,0.137,0.137,0.123,0.082.,0.110,0.137 T, Wc3 K 0.122,0.122,0.134,0.134,0