17.1勾股定理的证明(比较全的证明方法)精读.ppt

北京欢迎您！ 2002年北京国际数学家大会会标 同学们！三角形的知识之前我们已学习了不少。直角三角形是一种特殊的三角形，从今天开始，我们尝试着研究直角三角形三边之间的关系。 17．1 勾股定理（一） 1，掌握直角三角形三边之间的关系（即勾股定理的内容）。 2，通过探究，了解勾股定理的证明过 程，并掌握1----2种证明方法。 学习目标 为了实现本节的学习目标，请同学们按照以下要求来自学。 认真看课本P22—P24，注意： 1、结合P22思考前的故事及“黄色书签”,你在知识的认知上应该养成怎样的品质？ 2、结合P22思考和图形17.1-2，你认为老毕先生发现了什么？跨越两千多年的时空，看你和老毕是否有心灵的默契？之后用P22下面三行小字验证你的发现。 3、用数形结合与面积法思想，借助P22探究与网格再验证其它直角三角形三边是否有同样的性质 4、准确记忆P23命题1﹙勾股定理﹚，分清题设与结论。﹙猜想﹚ 5、利用P23 “赵爽弦图”和面积法证明勾股定理 6、务必明确勾股定理的两个关于：关于直角三角形与关于该种图形边的关系 自学时间10分钟之后比谁能做对检测题。不会的可小声讨论或举手问老师。 自研共探： 看一看 相传两千五百年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们也来观察下面的图案，看看你能发现什么？ a2 + b2 c2 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 ┏ a c b 勾 股 弦 勾股定理 毕达哥拉斯定理 a2 c2 - b2 b2 c2 - a2 勾股定理的证明 32 52 42 两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明．因此不断出现关于勾股定理的新证法． 1．传说中毕达哥拉斯的证法 2．赵爽弦图的证法 4．美国第20任总统茄菲尔德的证法 3．刘徽的证法 勾股定理的证明 5．其他证法 这棵树漂亮吗？如果在树上挂上几串彩色灯泡，再挂上些小铃铛、小彩球、小礼盒、小的圣诞老人，是不是更像一棵圣诞树． 　　也许有人会问：“它与勾股定理有什么关系吗？” 　　仔细看看，你会发现，奥妙在树干和树枝上，整棵树都是由下方的这个基本图形组成的：一个直角三角形以及分别以它的每边为一边向外所作的正方形． 这个图形有什么作用呢？不要小看它哦！古希腊的数学家毕达哥拉斯就是利用这个图形验证了勾股定理． 关于勾股定理的证明，现在人类保存下来的最早的文字资料是欧几里得（公元前300年左右）所著的《几何原本》第一卷中的命题47：“直角三角形斜边上的正方形等于两直角边上的两个正方形之和”．其证明是用面积来进行的．　 传说中毕达哥拉斯的证法 已知：如图，以在Rt△ABC中，∠ACB 90°，分别以a、b、c为边向外作正方形． 求证：a2 +b2 c2． ∴S矩形ADNM＝2S△ADC． 又∵正方形ACHK和△ABK同底（AK）、等高（即平行线AK和BH间的距离）， ∴S正方形ACHK＝2S△ABK． ∵AD＝AB，AC＝AK，∠CAD＝∠KAB， ∴△ADC≌△ABK． 由此可得S矩形ADNM＝S正方形ACHK ． 同理可证S矩形MNEB＝S正方形CBFG． ∴S矩形ADNM＋S矩形MNEB＝S正方形ACHK＋S正方形CBFG． 即S正方形ADEB＝S正方形ACHK＋S正方形CBFG ， 也就是 a2+b2 c2． 传说中毕达哥拉斯的证法 证明：从Rt△ABC的三边向外各作一个正方形（如图），作CN⊥DE交AB于M，那么正方形ABED被分成两个矩形．连结CD和KB． 返回 ∵由于矩形ADNM和△ADC同底（AD），等高 即平行线AD和CN间的距离 ， 我国对勾股定理的证明采取的是割补法，最早的形式见于公元三、四世纪赵爽的《勾股圆方图注》．在这篇短文中，赵爽画了一张他所谓的“弦图”，其中每一个直角三角形称为“朱实”，中间的一个正方形称为“中黄实”，以弦为边的大正方形叫“弦实”，所以，如果以a、b、c分别表示勾、股、弦之长， 那么： 赵爽弦图的证法 得： c2 a2+ b2． 返回 c a b c a b c a b c a b ∵ c2 b2-2ab+a2+ 2ab a2+b2 ∴a2+b2 c2 大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为 c2 该图2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标示意图，取材于我国古代数学著作《勾股圆方图》。 证明1： 刘徽在《九章算术》中对勾股定理的证明：勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也．合成弦方之幂，开方除之，即弦也． 　　令正