18_3几何应用精读.ppt

返回 后页 前页 在本节中所讨论的曲线和曲面, 由于它们 的方程是以隐函数 组 的形式出现的, 因此 在求它们的切线或切平面时, 都要用到隐函 数 组 的微分法. §3 几 何 应 用 一、平面曲线的切线与法线 二、空间曲线的切线与法平面 三、曲面的切平面与法线 一、平面曲线的切线与法线 曲线 L ： 条件： 上一点, 近旁, F 满足 隐函数定理条件, 可确定可微的隐函数: 处的切线： 总之, 当 例1 求笛卡儿叶形线 在点 处的切线与法线. 解 设 由§1 例 2 的讨 论 近旁满足隐函数定理 的条件. 容易算出 于是所求的切线与法线分别为 例2 用数学软件画出曲线 的图象；并求该曲线在点 处的 切线与法线. 解 在 MATLAB 指令窗内执行如下绘图指令: syms x,y; ezplot x^2+y-sin x*y ,[-4,4],[-8,1] ; 就立即得到曲线 L 的图象 见本例末页 . 令 容易求出: 由此得到 L 在点 处的切线与法线分别为： 若在上面的 MATLAB 指令窗里继续输入如下指 令, 便可画出上述切线与法线的图象 如图 . hold on; a pi ^ 1/3 ; b a^2; ezplot 2*a-b * x-a + 1+a * y+b ; ezplot 1+a * x-a - 2*a-b * y+b 例3 设一般二次曲线为 试证 L 在点 处的切线方程为 证 由此得到所求切线为 利用 满足曲线 L 的方程, 即 整理后便得到 二、空间曲线的切线与法平面 先从参数方程表示的曲线开始讨论. 在第五章§3 已学过, 对于平面曲线 若 是其上一点, 则曲线 在点 处的切线为 下面讨论空间曲线. A 用参数方程表示的空间曲线: 类似于平面曲线的情形, 不难求得 处的切线为 过点 且垂直于切线 的平面 , 称为曲线 L 在点 处的法平面 . 因为切线 的方向向量即为 法平面 的法向量, 所以法 平面的方程为 B 用直角坐标方程表示的空间曲线： 设 近旁具有连续的 一阶偏导数, 且 不妨设 于是存在隐函数组 这也就是曲线 L 以 z 作为参数的一个参数方程. 根据公式 2 , 所求切线方程为 应用隐函数组求导公式, 有 于是最后求得切线方程为 相应于 3 式的法平面方程则为 例 4 求空间曲线 在点 处的切线和法平面. 解 容易求得 故切向向量为 由此得到切线方程和法平面方程分别为 syms t; x t-sin t ; y 1-cos t ; z 4*sin t/2 ; ezplot3 x,y,z,[-2*pi,2*pi] 绘制上述空间曲线的程序与所得图形如下: 例5 求曲线 在点 处的切线与法平面. 解 曲线 L 是一球面与一圆锥面的交线. 令 根据公式 5 与 6 , 需先求出切向向量. 为此计算 F, G 在点 处的雅可比矩阵: 由此得到所需的雅可比行列式: 故切向向量为 据此求得 三、曲面的切平面与法线 以前知道, 当 f 为可微函数时, 曲面 z f x , y 在点 处的切平面为 现在的新问题是: 曲面 由方程 给出. 若点 近旁 具有连续的一阶偏导数, 而且 不妨设 则由方程 7 在点 近旁惟一 地确定了连续可微的隐函数 因为 所以 在 处的切平面为 又因 8 式中非零元素的不指定性, 故切平面方程 一般应写成 随之又得到所求的法线方程为 回顾 1 现在知道, 函数 在点 P 的梯度 其实就是等值面 在点 P 的法向量: 回顾 2 若把用方程组 4 表示的空间曲线 L 看作 曲面 的交线, 则 L 在 点 的切线与此二曲 面在 的法线都相垂 直. 而这两条法线的 方向向量分别是 故曲线 4 的切向向量可取 的向量积: 这比前面导出 5 , 6 两式的过程更为直观, 也容 易记得住. 例6 求旋转抛物面 在点 解 令 则曲面的法向量为 处的切平面和法线. 从而由 9 , 10 分别得到切平面为 法线为 例7 证明: 曲面 的任一切平 面都过某个定点 这里 f 是连续可微函数 . 证 令 则有 于是曲面在其上任一点 处的法向量 可取为 由此得到切平面方程: 将点 代入上式, 得一恒等式: 这说明点 恒在任一切平面上. 四、用参数方程表示的曲面 曲面也可以用如下双参数方程来表