初中数学压轴题运动型问题精讲.doc

运动型问题 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 中考第二轮专题复习⑶ 运动型问题 二. 知识讲解： 用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称为运动型问题，此类问题的显著特点是图形中的某个元素（如点、线段、角等）或整个几何图形按某种规律运动，图形的各个元素在运动变化的过程中互相依存、和谐统一，体现了数中“变”与“不变”及由简单到复杂，由特殊到一般的辩证思想，对培养同学们的思维品质和数学能力都有很大的促进作用，它集代数与几何的众多知识于一体，渗透了分类讨论、转化化归、数形结合、函数方程等重要数学思想，综合性较强，已成为中考热点试题。新课程改革倡导培养学生的实践能力和创新精神，运动型试题所考查的知识与能力很好地体现了课改精神，如教材新增内容：图形的三种变换（平移、旋转、翻折）、图形与坐标等知识内容，以网格纸、坐标系等为背景，三角尺、多边形纸张等为工具，以运动为载体来设计试题，具有背景新颖、题材丰富、可操作性强的特点，已成为新课程中考的压轴题。 运动型试题主要包含质点运动型试题与图形变换型试题两类，命题的设置往往带有开放性、操作性、探究性和综合性的特点。 【典型例题】 例1. 如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC的长为常数，点P从起点C出发，沿CB向终点B运动，设点P所走过的路程CP的长为，△APB的面积为，则下列图象能大致反映与之间的函数关系的是（ ） 解析：解答本题的关键是通过，找出与之间的函数关系，考查函数运动变化观点。选C。 例2. 如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝50，AD＝75，BC＝135。点P从点B出发沿折线段BA－AD－DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD－DA－AB于点E。点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止。设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）。 ⑴当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长； ⑵当点P运动到AD上时，t为何值能使PQ∥DC ？ ⑶设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围） ⑷△PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由。 解析：第⑴小题是基本题，可直接计算；第⑵小题关键是将问题转化为平行四边形，然后运用平行四边形的有关性质求解；第⑶小题抓住图形的变化规律进行分类是解题的关键；第⑷小题应根据点P、点E的位置分类求解，即当点P在BA上时求解；点P、点E同时在AD上且点P、点E不重合时求解；点P与点C重合时求解。 解：⑴t＝Q的长为135－105＝30。 ⑵如图3，若PQ∥DC，又AD∥BC，则四边形PQCD为平行四边形，从而PD＝QC，由QC＝3t，BA＋AP＝5t得50＋75－5t＝3t，解得t＝。经检验，当t＝时，有PQ∥DC。 ⑶①当点E在CD上运动时，如图4。分别过点A、D作AF⊥BC于点F，DH⊥BC于点H，则四边形ADHF为矩形，且△ABF≌△DCH，从而FH＝AD＝75，于是BF＝CH＝30。∴DH＝AF＝40。 又QC＝3t，从而QE＝QC·tanC＝3t·＝4t。（注：用相似三角形求解亦可） ∴S＝S⊿QCE QE·QC＝6t2； ②当点E在DA上运动时，如图3。 过点D作DH⊥BC于点H，由①知DH＝40，CH＝30，又QC＝3t，从而ED＝QH＝QC－CH＝3t－30。 ∴S＝ S梯形QCDE （ED＋QC）DH＝120 t－600。 ⑷△PQE能成为直角三角形。 当△PQE为直角三角形时，t的取值范围是0＜t≤25且t≠或t＝35。 下面是第（4）问的解法，供参考： ①当点P在BA（包括点A）上，即0＜t≤10时，如图4。过点P作PG⊥BC于点G ，则PG＝PB·sinB＝4t，又有QE＝4t＝。 ③当点P在DC上（不包括点D但包括点C），即25＜t≤35时，如图5。由ED＞25×3－30＝45， 可知，点P在以QE＝40为直径的圆的外部，故∠EPQ不会是直角。 由∠PEQ＜∠DEQ，可知∠PEQ一定是锐角。对于∠PQE，∠PQE≤∠CQE，只有当点P与C 重合，即t＝35时，如图6，∠PQE＝90°，△PQE为直角三角形。 综上所述，当△PQE为直角三角形时，t的取值范围是0＜t≤25且t≠或t＝35。 例3. 如图7，在Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝8㎝，矩形ABCD的长和宽分别为8㎝和2㎝，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上。令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1㎝的速度移动（图8），直到C点与N点重合为止。设移动秒后，矩形ABCD与△PM