19.图形的面积及旋转体体积精读.ppt

一、平面图形的面积 二、旋转体的体积 第三节 定积分的应用 O x y y f x a b 回忆 曲边梯形面积的求法 微元法 1 分割 2 近似 3 求和 4 取极限 分析 面积元素 O x y y f x a b 一般解决实际问题的基本步骤 以上用定积分解决实际问题的方法称为微元法. 应用方向： 　　平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等． 3 对上式积分,即得所求量A的定积分表达式 　　由曲线 、 和直线 、 所围成的平面图形.求其面积A. 一、平面图形的面积 现用微元法求解:在 内任取一小区间 ,它所相应的窄条面积,近似等于高为 以直代曲 、底为　的窄条矩形面积,故微元 因此 例3-51 求由抛物线 和 所围成的图形的面积. 解 解方程组 得两曲线的交点 、 所求面积为 　　同理,由曲线 、 与直线　　　、 所围成的平面图形的面积为 例3-52 求椭圆 的面积 . 解 由椭圆的对称性,所求面积等于第一象限面积的4倍. 面积元素 b -b a -a O x y 解 解方程组 得两曲线的交点 例3-53 求抛物线 和直线 所围成的图形的面积. 选 为积分变量 解法一 选 为积分变量 解法二 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴． 圆柱 圆锥 圆台 二、旋转体的体积 旋转体的体积为 下面用微元法来求由连续曲线 、 直线 、 及 轴所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周而形成的旋转体体积. 任取 ,给 一个增量 ,得一微小小区间 ,它所对应的小旋转体体积　 可近似看作是以 为底半径、以　 为高的圆柱体体积. 即 x y o 同理,由连续曲线 与直线 、 及 轴所围成的曲边梯形，绕 轴旋转一周而形成的旋转体体积. 例3-54 求由椭圆 绕 轴和 轴而成的椭球体的体积. 解 ①将椭圆方程化为 由公式 得出所求的体积为 b -b a -a O x y ② 将椭圆方程化为 由公式 得出所求的体积为 b -b a -a O x y 特别当 a b 时 旋转体成为球体 例3-55 求由曲线 与直线 、 围成的 图形绕 轴旋转而成的旋转体体积. 解 由公式 得出所求的体积为 例3-56 求由抛物线 、直线　　 及　轴所围成的平面图形绕Y轴旋转一周所得的体积. 解 所求体积为圆柱体的体积减去中间杯状物的体积 解 主要内容 1.微元法 2.求平面图形的面积 求旋转体的体积