变分法简介(简_明了_易懂).doc

§1 变分法简介 作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹： 约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667－1748）　　这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem）Guillaume Francois Antonie de lHospital 1661-1704）、雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）Isaac Newton1642—1727）Euler Lonhard，1707～1783）Lagrange, Joseph Louis，1736-1813约翰·伯努利 The Hanging Chain Problem 向界求答案固定的端，在重力中它自然垂下，的曲方程是什在大自然中，除了的外，我們可以察到吊上方的索，水珠以及根之所架的，些都是（catenary）。 伽利略（Galileo, 1564～1643）惠更斯（Huygens, 1629～1695）在1646年（17岁），物理的，得知伽利略的猜不，但他求不出答案。约翰·伯努利 解此方程并适当选取参数，得 （1） 即为悬链线。 悬链线问题本身和变分法并没有关系，然而这和最速降线问题一样都是贝努利兄弟间的相互争强好胜、不断争吵的导火索，虽然雅可比·贝努利在解决悬链线问题时略占下风，但他随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在所有可能的形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能”，算是扳回了一局，俩兄弟扯平了！之所以提到悬链线问题，有两方面考虑，其一，这是有关数学史上著名的贝努利家族内的一个趣闻，而这是一个在变分法乃至整个数学物理领域有着巨大贡献的家族，其二，有关悬链线的得几个结论，可以用变分法来证明！ 现实中很多现象可以表达为泛函极小问题，我们称之为变分问题。求解方法通常有两种：古典变分法和最优控制论。我们这儿要介绍的基本属于古典变分法的范畴。 变分法的基本概念 泛函的概念 设为一函数集合，若对于每一个函数有一个实数与之对应，则称是定义在上的泛函，记作。称为的容许函数集。 例如，在上光滑曲线y x 的长度可定义为 （2） 考虑几个具体曲线，取， 若，则 若y x 为悬链线，则 对应中不同的函数y x ，有不同曲线长度值J，即J依赖于y x ，是定义在函数集合上的一个泛函，此时我们可以写成 我们称如下形式的泛函为最简泛函 （3） 被积函数包含自变量，未知函数 t 及导数 t 。如，上述曲线长度泛函即为一最简泛函。 泛函极值问题 考虑上述曲线长度泛函，我们可以提出下面问题： 在所有连接定点的平面曲线中，试求长度最小的曲线。 即，求，使 取最小值。此即为泛函极值问题的一个例子。以极小值为例，一般的泛函极值问题可表述为， 称泛函在取得极小值，如果对于任意一个与接近的，都有。所谓接近，可以用距离来度量，而距离可以定义为 泛函的极大值可以类似地定义。其中称为泛函的极值函数或极值曲线。 泛函的变分 如同函数的微分是增量的线性主部一样，泛函的变分是泛函增量的线性主部。作为泛函的自变量，函数在的增量记为 也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作 如果可以表为 其中为的线性项，而是的高阶项，则称为泛函在的变分，记作 。用变动的代替，就有。 泛函变分的一个重要形式是它可以表为对参数的导数： （4） 这是因为当变分存在时，增量 根据和的性质有 所以 泛函极值的相关结论 泛函极值的变分表示 利用变分的表达式（4），可以得到有关泛函极值的重要结论。 泛函极值的变分表示：若在达到极值（极大或极小），则 （5） 证明：对任意给定的，是变量的函数，该函数在处达到极值。根据函数极值的必要条件知 再由（4）式，便可得到（5）式。 变分法的基本引理：，，，有 ， 则。 证明略。 泛函极值的必要条件 考虑最简泛函（3），其中F具有二阶连续偏导数，容许函数类S取为满足端点条件为固定端点（6）的二阶可微函数。 ， （6） 泛函极值的必要条件：设泛函（3）在x t ∈S取得极值，则x t 满足欧拉方程 （7） 欧拉方程推导：首先计算（3）式的变分： 对上式右端第二项做分部积分，并利用，有 ， 所以 利用泛函极值的变分表示，得 因为的任意性，及，由基本引理，即得（7）。 （7）式也可写成 （8） 通常这是关于x t 的二阶微分方程，通解中的任意常数由端点条件（6）确定。 几种特殊形式最简泛函的欧拉方程 i 不依赖于，即 这时，欧拉方程为，这个方程以隐函数形式给出，但它一般不满足边界条件，因此，变分问题无解。 ii 不依赖，即 欧拉方程为 将上式积分一次，便得首次积分，由此可求出，积分后得到可