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第章 数学趣题解析 泊松（Poisson S.-D,B.,1781.6.21~1840.4.25）法国数学家，曾任过欧洲许多国家科学院的院士，在积分理论、微分方程、概率论、级数理论等方面都有过较大的贡献。 据说泊松在青年时代研究过一个有趣的数学游戏： 某人有12品脱啤酒一瓶（品脱是英容量单位，1品脱 0.568升），想从中倒出6品脱。但是他没有6品脱的容器，只有一个8品脱的容器和一个5品脱的容器。怎样的倒法才能使8品脱的容器中恰好装入6品脱啤酒？ ?分析与解答 这个数学游戏有两种不同的解法，如下面的两个表所示。 第一种解法： 12 12 4 4 9 9 1 1 6 8 0 8 3 3 0 8 6 6 5 0 0 5 0 3 3 5 0 第二种解法： 12 12 4 0 8 8 3 3 11 11 6 6 8 0 8 8 0 4 4 8 0 1 1 6 5 0 0 4 4 0 5 1 1 0 5 0 下面几个题目与泊松青年时代研究过的题目类型相同。 2.装牛奶 冰冰是个小馋猫。有一天晚上，他在梦中来到一个奇妙的地方，这里的花草树木都是冰淇淋或巧克力做的，小河里淌的是牛奶。他正想喝牛奶，可发现没带杯子。这时突然出现了两个圆柱形的容器，一个容量是3升，另一个容量是10升，前者的高度正好是后者的一半。它们是用高硬度不渗透的材料制成的，重量很沉，但其厚度薄到可以忽略不计。冰冰把其中的一个容器装满牛奶，然后结合使用另一个容器，量出了恰好1升牛奶。在这个过程中，冰冰没有再用容器从河中装过牛奶，原来装回的牛奶始终都在容器中，没有失去一滴。 想想看，冰冰是如何量出这1升牛奶的？ ?分析与解答 用小容器装满3升牛奶；把这3升牛奶全部倒入大容器中；把空的小容器口朝上放进大容器的底部；这时，大容器中的牛奶溢过小容器的口而再流入小容器；这样流入小容器中的牛奶正好是1升。由条件已经知道小容器的高度是大容器的一半，而大容器一半的容量是5升，当小容器放入大容器中后，大容器中围绕着小容器的环形部分的容量是2升，多出的1升就流入小容器之中。 3.怎样斟酒 也许，还没有一个难题像这道题那样激起这么多的欢乐，这是泰巴旅店老板哈利·裴莱提出的。他一路上陪着一伙朝圣者，有一次他把同伴一齐叫来，说： “我可敬的老爷们，现在轮到我来启迪一下你们的心智。我给你们讲一个难题，它会使你们大伤脑筋。但是我想你们最后会发现，它很简单。请看，这儿放着一桶绝妙的伦敦白啤酒。我手里拿着两个大盅，一个能盛5品脱，另一个能盛3品脱。请你们说说看，我怎样斟酒，使得每个盅里都恰好有1品脱？” 回答这个问题，不允许使用任何别的容器或设备，也不许在盅子上做记号。 ?分析与解答 由索维尔克小旅店“泰巴”快乐的东家提出的难题，比其他朝圣者的难题更通俗。 “我看，我的老爷们，”他扬声说，“太妙啦，我的小小诡计把你们的头脑弄糊涂了。要在这两个盅子里都斟上1品脱酒，不许用其他任何容器帮助，这对我来说是毫不困难的。” 于是，泰巴旅店的老板开始向朝圣者们解释，怎样完成这最初认为简直不能解决的问题。他立刻把两个盅子都斟满，然后将龙头开着让桶里剩下的啤酒都流到地板上（对于这种做法，同伴们坚决提出抗议。但机智的老板说，他确切地知道原来桶内的啤酒量比8品脱多不了多少。请注意，流尽的啤酒量不影响本题的解）。他再把龙头关上，并将3品脱盅子内的酒全部倒回桶中，接着把大盅的酒往小盅倒掉3品脱，并把这3品脱酒倒回桶中，他又把大盅剩下的2品脱酒倒往小盅，把桶里的酒注满大盅（5品脱），这样，桶里只剩1品脱。他再把大盅的酒注满小盅（只能倒出1品脱），让同伴们喝完小盅里的酒，然后从大盅往小盅倒3品脱，大盅里剩下1品脱，又喝完小盅的酒，最后把桶里剩的1品脱酒注人小盅内。这样朝圣者们怀着极大的惊讶与赞叹之情，发现在每个盅子里现在都是一品脱啤酒。 4.称球问题 称球问题是最经典的一道趣味数学题目，经常出现于各种智力游戏及智力测试中，最常见的题目如下所示： 12个球中，有一个重量与其他的11个不同，但不知道是重还是轻。给你一个天平，只许称3次把这个不标准的球找出来，应该怎么称呢？ ?分析与解答 首先强调说明两点： （1）不规则的球不知是轻还是重，一共12个球，因此最后必定是24种可能。 （2）任何时候如果天平相等，那么天平上的球都是标准球，可以作为后续参考球。如果天平不相等，下次称的时候将其中的一部分球交换位置天平保持不变，那么交换的球都是标准球，反之如果天平发生变化则不标准球就在交换的球之中。 为了使读者查看方便，12个球用1~12（数字）进行标识，其中已确定是标准球的号码加括号注明： 第一次 1+2+3+4 比较 5+6+7+8 如果相等，第二次 9+10 比较 （1）+11 如果相等，证明是12球不规则，第三次和任意球比较，