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空中电缆长度问题
实验报告
学校: 西南石油大学 专业: 信息与计算科学 年级: 2012级 姓名: 邹润一 学号: 1座机电话号码7 课题:空中电缆长度问题 实验目的:
在相距100米的两个塔(高度相等的点)上悬挂一跟电缆,允许电缆中间下垂10米,请计算在这两个塔之间所用电缆的长度
掌握用Matlab求非线性方程的根,求函数定积分的技巧以及近似的计算方法
实验内容:
问题的分析与模型的建立 方案一:如果假设电缆处于理想状态,则可以使用常微分方程模型所推导出来的悬链线方程y a*cosh x/a 来描述空中电缆曲线变化的规律。借用这一结果首先要确定方程中的参数a。根据条件可得到y 50 y 0 +10,即a*cosh 50/a a+10.求解方程可以得到a的值。可以用Matlab的指令:fzero,在使用该命令之前需要寻找一个根的初始值λ0。该初始值可以通过对函数f(a) acosh 50/a -a-10的图形进行观察得到。一旦确定了悬链线方程中的参数a,则可以根据方程绘图,并可以根据弧长的积分计算公式求出塔之间的电缆长度
方案二:由于上述处理比较复杂(涉及非线性方程求根,并需确定根的初始值),可以用简单的折线来代替悬链线计算出电缆长度的近似值。
方案三:也可以用抛物线代替悬链先来计算电缆长度的近似值
2.模型的求解与实验过程
一.首先定义非线形方程式f x 0的左端函数.
文件名定义为fa.m
二,现在根据上面定义的函数描绘出x在[10,100]的区间范围变化的函数曲线,观察这一范围内函数值的变化情况,在Matlab环境下输入:
fplot ‘fa’,[10,100] 然后按回车
可以看出函数值在区间[5,80]大于零.
再次输入 fplot ‘fa’,[80,150] 然后按回车
绘出x在[80,150]的范围之内变化的函数曲线,
有这一曲线可以估计出函数的零点大概在130左右,因此可以取x0 130:
1.
现在考虑悬链线方程
用定积分的弧长公式计算求出悬链线的长度,首先要定义出定积分的被积函数
2.用过点 -50,10 , 0,0 , 50,100 的折线长度来代替悬链线长度得到
L≈2*sqrt 50*50+10*10 101.9804
用弧长计算公式来计算抛物线长度,先定义函数
两个数据较为接近。
结果分析:
用过点 -50,10 , 0,0 , 50,10 的抛物线近似代替悬链线,是第二种简单的计算方案,得到L1 102.606,接近与前面计算的悬链线的长度L 102.6187.近似效果比较理想。
用过点 -50,10 , 0,0 , 50,10 的折线长度代替悬链线长度,这是第一种简单的计算方案,数据结果比较接近与悬链线的长度,误差为:-0.6383.,近似效果比抛物线差。
这两种近似计算的方法都没有遇到非线性方程求根需要确定根的初始值的难题,从实际操作来看都是有价值的
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