空间位置关系与距离(教师版).docVIP

专题15 空间位置关系与距离 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1已知平面α外不共线的三点A,B,C到α的距离都相等,则正确的结论是( ) A.平面ABC必平行于α B. 存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内 C. 平面ABC必与α相交D. 平面ABC必不垂直于α 2．如图，过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有( D ) A.4条 B.6条 C.8条 D.12条 3．设三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、 CC1 上的点，且PA=QC1，则四棱锥B—APQC的体积为（ C ） A． B． C． D． 4．已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若； ②若 ③若； ④若m、n是异面直线，，其中真命题是（ D） A．①和② B．①和③ C．③和④ D．①和④ 5．在正方形中，过对角线的一个平面交于E，交于F，则四边形一定是平行四边形 四边形有可能是正方形 四边形在底面ABCD内的投影一定是正方形 四边形有可能垂直于平面 以上结论正确的为 ①③④ 。（写出所有正确结论的编号） 6如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、BC的中点, （Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD； （Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的大小； （Ⅲ）求点E到平面ACD的距离. 【专家解答】 （I）证明：连结OC 在中，由已知得而 即 平面 （II）取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知 直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角 在中， 是直角斜边AC上的中线，异面直线AB与CD所成角的大小为 （III）设点E到平面ACD的距离为 在中 而 点E到平面ACD的距离为 【考点透视】 判断线线线面面面的平行与垂直求点到平面的距离及多面体的体积。 【热点透析】 转化思想 ① ；② 异面直线间的距离转化为平行线面之间的距离，平行线面、平行面面之间的距离转化为点与面的距离。 2空间距离则主要是求点到面的距离主要方法①体积法； ②直接法,找出点在平面内的射影【范例1】如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱． （1）证明//平面； （2）设，证明平面． 解：（Ⅰ）取CD中点M，连结OM. 在矩形ABCD中，，又，则， 连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形. 又平面CDE， EM平面CDE， FO∥平面CDE （Ⅱ）证明：连结FM，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE中， 且. 因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM而FM∩CD=M，∴CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO. 而，所以EO⊥平面CDF. 【点晴】本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，注意线面平行和线面垂直判定定理的使用，考查空间想象能力和推理论证能力。 【文】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形,AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点(Ⅰ)求证：PB⊥DM;(Ⅱ)求CD与平面ADMN所成的角 解：方法一：（I）因为是的中点，，所以. 因为平面，所以，从而平面. 因为平面，所以. （II）取的中点，连结、，则， 所以与平面所成的角和与平面所成的角相等. 因为平面，所以是与平面所成的角. 在中，. 故与平面所成的角是. 方法二：以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，则 . （I） 因为，所以 （II） 因为，所以， 又因为，所以平面 因此的余角即是与平面所成的角. 因为， 所以与平面所成的角为. 【点晴】注意线线垂直常使用线面垂直得到解决，线面角关键是找到射影，遵循一作二证三计算的步骤。同时使用空间向量能降低对空间想象能力的要求。【范例2】如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=4，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°. （Ⅰ）求四棱锥P—ABCD的体积； （Ⅱ）证明PA⊥BD. 解：（Ⅰ）如图，取AD的中点E，连结PE，则PE⊥AD. 作PO⊥平面在ABCD，垂足为O，连结OE. 根据三垂线定理的逆定理得OE⊥AD， 所以∠PEO为侧面PAD与底面所成的二面角的平面角，由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6，所以PO=3，四棱锥P—ABCD的体积VP—ABCD= （Ⅱ）如图，以O为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得P0，0，3， A2，－3，0，B2，5，0，D－2，－3，0 所以 因为 所以PA⊥BD. 法：连结AO，延长AO交BD于点F.通过计算可得EO=3，AE=