空间向量与立体几何OK.docVIP

空间向量与立体几何 一、空间向量的基础知识 1．空间向量的坐标运算 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}(i，j，k，k、C|x|=OA，|y|=B，|z|=C，i方向相同时，x0，反之x0．同理确定y、z．点P的坐标与坐标相同． (2)向量的直角坐标运算 设a=(a1，a2，a3)，b=1，b2，b3)，则 a+b=(a1+b1，a2+b2，a3+b3)；a-b=(a1-b1，a2-b2，a3-b3)；a·b=a1b1+a2b2+a3b3， a∥b(a1=(b1，a2=(b2，a3=(b3(((R )．或， a⊥b(a1b1+a2b2+a3b3=0． (3) ①夹角公式 cosa，b=． ② 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， ||=． x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 若M分为定比(((≠-1)，则M的坐标为 x=，y=，z=， (=1即M为中点时得中点坐标公式： x=，y=，z=． ，x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3z3)为顶点的三角形重心公式：x=，y=，z=．平面的法向量：如果a⊥(，那么向量a叫做平面(的法向量． 一个平面的法向量有无数条，它们的方向相同或相反． 一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，进而就可以利用平面的法向量解决相关立体几何问题．推导平面法向量的方法如下： 在选定的空间直角坐标系中，设平面(的法向量n=(x，y，z)[或n=(x，y，1)或n=(x，1，z)，或n=(1，y，z)]，在平面(内任选定两个不共线的向量a，b．由n⊥(，得n·a=0且n·b=0，由此得到关于x，y的方程组，解此方程组即可得到n． 说明：为求平面(的法向量n，按理应当设n=(x，y，z)，但是因为相差一个常数因子并不影响其与平面ABC的垂直性，在z≠0的条件下，由n=(x，y，z)=z(，，1)，令=x′， =y′，于是可设n=(x′，y′，1)，同理也可设n=(1，y′，z′，1)，或n=(x′，1，z′)． 有时为了需要，也求法向量n上的单位法向量n0，则n0=． 两线的方向向量平行（各个坐标成同一比例） 2、线面平行线的方向向量与面的法向量垂直（两向量点乘积为零） 3、面面平行两面的法向量平行 4、线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直 5、线面垂直线与面的法向量平行 要证的线的方向向量与平面内任意两条相交直线的方向向量分别垂直（此方法用的最多） 6、面面垂直两面的法向量垂直 四、空间向量与立体几何中的位置关系 1、直线夹角的向量求法 异面直线之间夹角的计算可以转化为异面直线间方向向量的夹角的计算，设异面直线所成的角为，则等于的方向向量所成的角或其补角的大小，则. 2、线与平面所成的角 直线与平面成角，是直线的方向向量，是平面的一个法向量， 则. 3、面与平面所成的角 平面与平面间夹角的计算可以转化平面法向量间夹角的计算，设平面与平面所成的角为，则等于平面与平面的法向量所成的角或其补角的大小，.=或=-. 4、平面的距离 点到平面的距离用向量的方法求解同样也只需记住一个公式即可： 已知点是平面外的一个点,点是平面内的一个点，为平面的法向量，则到平面的距离： 1 已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点 （Ⅰ）证明：面面； （Ⅱ）求与所成的角； （Ⅲ）求面与面所成二面角的大小 2、 如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的，其中 （Ⅰ）求的长； （Ⅱ）求点到平面的距离 3、(2009天津卷理)(本小题满分12分) 如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD． (Ⅰ)求异面直线BF与DE所成的角的大小； (Ⅱ)证明平面AMD⊥平面CDE； (Ⅲ)求二面角A－CD－E的余弦值． 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=BC=AB=2，AB⊥BC，求二面角B1－A1C－C1的大小． 的正方体中，分别是、的中点， 求直线与所成角； 求直线与平面所成的角； 求平面与平面所成的角. 7、正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=，CE=EF=1. （Ⅰ）求证：AF∥平面BDE； （Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE； （Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。 8、(2012·天津理，17)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1. (1)证明：PCAD；(2)求二面角A