空间点线面复杂问题求解方法V10.doc

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空间点线面复杂问题求解方法V10

第3章 空间点线面复杂问题求解方法 3.1 直线与平面的相对位置 在日常生活中,我们可以观察到的直线与平面的相对位置包括三种,即平行、相交、垂直。垂直是相交的一种特殊形式。本节我们将分别分析一下直线与平面处于这几种位置关系时的复杂问题求解的方法。 3.1.11)直线与平面平行 直线与平面平等的几何条件是:直线平行于平面上任一直线,根据此条件,可以投影图上解决作直线平等于平面,或作平面平行于直线,或判别直线是否平行于平面等作图的问题。如图3.1所示,直线AB平行于平面P上的直线CD,那么直线AB与平面P平行;反之,如果直线AB与平面P平等,则在平面P上必可以找到与直线AB平行的直线CD。 图3.1 直线与平面平行的几何条件 上述原理是解决直线与平面平行问题的依据。 例题3-1 试判断直线AB是否平行于定平面DEC。 如图3.2右图的求解过程所示,在DEC平面的主视图投影中,先做属于平面的FG直线的投影f’g’使f’g’’b’。然后按照点的从属性及点的投影规律,做出FG的俯视图的投影fg,如果发现fg与ab不平行,因而,可以判定直线AB与平面DEC不平行。 图3.2 判别直线与平面是否平行 图3. 判别直线与平面是否平行 图3. 如图3.4右侧的作图过程所示。 首先,作AB//NM;然后,过点A任作一直线AC,平面BAC//NM。 例3-3 过点A作正垂面P平行于已知直线MN。 图3. 如图3.5所示,只要使所作平面PV//m’n’即可。 例3-4 试过点K作水平线AB平行于ΔCDE平面。 图3. 图3.7 两平面平行的判定条件 特别注意,对于这两条相交的直线,虽然判定条件中提及的可以是任何平面内的两相交直线,但在求解过程中,经常使用的是平面内的正平线与水平线。 例3-4 试判断两平面ABC及DEF是否平行。 图3.8 判断两平面的平行性 分析:在ABC平面及DEF平面内分别做条相交的直线,但这两条直线可以作得特殊点,一点是正平线一条是水平线,通过这两组线是否相互平行就可以知道两个平面是否平行了。当然,对于此题目来说,我们可以随便两两条相交直线来求解的。 作图:在ABC平面内作一条正平线AM,作一条水平线BN;在平面DEF平面内作一条正平线DS,作一条水平线RE;通过观察可知这两组相交的直线是相互平行的关系,因而这两个平面相互平行如图3.9所示。 图3.9 判断两平面是否平行的求解 例3-5过点K作一平面平行于平面ABC。 分析:要作出的平面只需要用两条相交直线进行表达就可以。这两条直线只要是分别平行于已经平面内的两条相交直线就行。 作图:作直线KM//AB;作直线KN//AC;KMN平面即为所求,如图3.10所示。 图3.10 过已知点作已知平面的平行平面 3.1.2 相交 (1)直线与平面 例3-6 如图3.12所示,求直线MN与平面ABC的交点K,并判断可见性。 图3.12 一般位置直线与铅锤面相交 分析:如图3.13所示,平面ABC是一铅垂面,其水平投影积聚成一条直线,该直线与mn的交点即为交点K的水平投影。 作图:利用直线上取点法求交点K的正面投影。 判别可见性。由水平投影可知,MK段在平面ABC的前方,故正面投影上m’k’可见,画成实线。以交点K为可见性分界点,k’n’被平面ABC遮住的部分不可见,画成虚线。 图3.14 铅锤线与一般位置平面相交 分析:直线EF为铅垂线,其水平投影积聚为一个点,故交点K的水平投影也积聚在该点上。 作图:用面上取点法求交点K。 判别可见性。由水平投影可知,KF段边AC的前方,故正面投影上k’f’可见。以交点K为可见性分界点,e’k’被三角形ABC遮住的部分不可见。与平面 图3.17 一般位置平面与铅垂面相交 分析:平面DEFG为铅垂面,其水平投影积聚为直线,该直线与ab、ac的交点m、n即为两个共有点的水平投影,它们的连线即为交线的水平投影。另外,利用交点是共有点,他也同样属于平面ABC的,因而,m’与n’的求得就变成了平面内取点的问题。 作图:如图3.18所示。 判别可见性:由俯视图可直观的看出,AMN在平面DEFG之前,对于主视图来说AMN是可见的。其实也可以利用重影点来判别可见性。 图3.18 一般位置平面与铅垂面相交的求解 3.1.3 垂直 (1)直线与平面 图3.19 直线与平面垂直的几何条件 既然直线与平面垂直,那么直线就垂直于该平面内的所有直线。据此,结合直角投影定理,很自然的就可以推导出定理:若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影;直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影,如图3.20所示。 图3.20 直线与平面垂直的几何特点

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