- 1、本文档共5页,可阅读全部内容。
- 2、有哪些信誉好的足球投注网站(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
- 3、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载。
- 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
- 5、该文档为VIP文档,如果想要下载,成为VIP会员后,下载免费。
- 6、成为VIP后,下载本文档将扣除1次下载权益。下载后,不支持退款、换文档。如有疑问请联系我们。
- 7、成为VIP后,您将拥有八大权益,权益包括:VIP文档下载权益、阅读免打扰、文档格式转换、高级专利检索、专属身份标志、高级客服、多端互通、版权登记。
- 8、VIP文档为合作方或网友上传,每下载1次, 网站将根据用户上传文档的质量评分、类型等,对文档贡献者给予高额补贴、流量扶持。如果你也想贡献VIP文档。上传文档
查看更多
空间解析几何方法
(空间解析几何)之内容方法
内容:空间直角坐标系;平面的点法式与一般式方程;空间直线的对称式与一般式方程及它们间的平行与垂直等相关位置;曲面与空间曲线的方程等。它是以后学习二重积分和三重积分的基础。本章的重点是:平面的点法式方程;直线的对称式方程;球面方程;母线平行于坐标轴的柱面方程。难点是:母线平等于行坐标轴的柱面方程的概念和空间曲线在坐标轴上的投影曲线的概念。
一 空间直角坐标系
空间直角坐标系是平面直角坐标系的推广。每点由三个有序实数确定P(x, y, z).
两点间的距离为:
定比分点公式为:
其中λ为P分线段P1P2的定比,即P1P=λPP2(
二 方向余弦与方向数
有向线段:以P1为始点,P2为终点的线段,它与三个坐标轴正向的夹角称为方向角;方程角的余弦值称为方程余弦。其计算公式为:
且满足
直线的方向数{A,B,C}:
其中α,β,γ 是直线上某个有向线段的方向角。若{A,B,C}是直线的方向数,则{kA, kB, kC}也是。这时直线的方向余弦为
两直线L1,L2的夹角为:
其中和分别是L1,L2的方向数。
平行于L2其中若分母为0,则相应的分子也为0。
三 平面与空间直线
平面的点法式方程:
其中是平面上一点,{A,B,C}是平面的方向数。
由于同时垂直于平面内两相交直线的直线即为平面的法线,所以一般都可以求平面的点法式方程。
平面的一般式方程:
(A,B,C不同时为0),{A,B,C}是平面法线的方向数。
在平面的一般式方程中
平面过原点
平面平行于x轴
平面过x轴
平面平行于xoy坐标面为常数)
其它类似,故从略。
求平面的一般式方程时,可用待定系数法;也可先求其点法式方程,再化为一般式方程。
直线的对称式方程(或点向式)方程:
其中为直线上一定点,为直线的方向数。
由立体几何知识,直线通常可求其对称式方程;由于点、向的不唯一,所以直线的对称式方程也不唯一。
直线的一般方程:两相交平面的交线。
直线的对称式中只有两个独立的等式(若某分母为0,则分子为0),联立即得一般式方程;反之,由于直线与两相交平面的法线垂直,故可从直线的一般式求得直线的方向数。另外,令直线的一般式中某变量为0,解出另两个变量的值即得直线上一点,故可从直线的一般式方程可求得其对称式方程。
两平面平行的充要条件是其法线的方向数成比例。即
两平面垂直的条件是其法线垂直。即
直线L与平面(平行的充要条件是直线与平面的法线垂直。即
直线L与平面(垂直的充要条件是
四 曲面与空间曲线
曲面的一般方程:
球心在,半径为的球面方程为:
空间曲线的方程: 。即它作为两曲面的交线。
表示:母线平行于轴,
准线为 的柱面。同样,
分别表示母线平行轴和轴的柱面。
空间曲线在坐标面上的射影曲线求法:
从空间曲线方程中消去变量得,,再与联立,即为所求。它就是空间曲线对面的射影柱面与面的交线。
五 二次曲面
椭球面:时为球面。
单叶双曲面:, ,
。
双叶双曲面:,-,
。
椭圆抛物面:,,
。
注意:顶点坐标的变化,如:表
顶点在开口向下的椭圆抛物面。
双曲抛物面:,,等。
锥面:,,。
以上均为各类曲面的标准方程,应熟练准确地画出其大致图形并触类旁通。另外,上述各方程左端正项的两系数相等时,表旋转曲面。
例7.1 已知空间中两点。求
1.|P1P2|; 2. 的方向余弦;
3. 直线的方向数。
解:1.
2. .
3. 方向数为
例7.2 已知平面过,与平面垂直且与直线
平行。求该平面的方程。
解:方法一:先求法式方程
设该平面的法线的方向数为,则由题意得,
,解得。
所以所求平面的点法式方程为,
化为一般式为:
方法二:待定系数法
设平面的一般方程为不全为0)。
由平面过点得: (1)
由另两条件得: (2)
(3)
联立(1),(2),(3)并解得。
故所求平面的方程为:
注:因平面的一般式方程中的系数为其法线的方向数,所以这两种方法实质上是一样的。
例7.3 求过点且与直线平行的直线的标准方程。
解:先从一般式方程中求已知直线的方向数。
设其方向数为则
,解得。
故所求直线的对称式方程为:
注:在已知直线的一般式方程中,令得,
,解得从而求得直线上一点为
故可化已知直线的一般式方程为标准方程为:
例7.4 已知球面的球心在且过点求
该球面的方程;
该球面与的交线对坐标面的射影柱面的方程;
该球面与的交线对坐标面上的射影曲线的方程。
解:1. 设球面的方程为
因球面过点,所以。故所求球面的方程为:
2.球面与的交线方程为:,
从中消去得该交线对坐标面的射影柱
您可能关注的文档
- 空调维护保养制度.doc
- 空调维护工作变被动为主动.doc
- 空调维护服务技术要求.doc
- 空调装置制冷量测定.doc
- 空调设备专用横流风机.doc
- 空调设备维护保养制度.doc
- 空调设备开关运行标.doc
- 空调送风风速标准1.doc
- 空调风口送风风量表.doc
- 空车配货何以屡治屡乱.doc
- 2024年中国钽材市场调查研究报告.docx
- 2024年中国不锈钢清洗车市场调查研究报告.docx
- 2024年中国分类垃圾箱市场调查研究报告.docx
- 2024年中国水气电磁阀市场调查研究报告.docx
- 2024年中国绿藻片市场调查研究报告.docx
- 2010-2023历年初中毕业升学考试(青海西宁卷)数学(带解析).docx
- 2010-2023历年福建厦门高一下学期质量检测地理卷.docx
- 2010-2023历年初中数学单元提优测试卷公式法(带解析).docx
- 2010-2023历年初中毕业升学考试(山东德州卷)化学(带解析).docx
- 2010-2023历年初中毕业升学考试(四川省泸州卷)化学(带解析).docx
文档评论(0)