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立体几何常见证明方法
立体几何方法归纳小结 一、线线平行的证明方法 1、根据公理4,证明两直线都与第三条直线平行。 2、根据线平行的性质定理,若直线a平行于平面A ,过a的平面B与平面A相交于b ,则 a//b。 3、根据线面垂直的性质定理,若直线a与直线b都与平面A垂直,则a//b 。 4、根据面面平行的性质定理,若平面A//平面B,平面C与平面A和平面B的交线分别为直线 a与直线 b,则a//b 。 5、由向量共线定理,若,且AB、CD不共线,则向量AB所在的直线a与向量cd所在的直线b平行,即a//b。 二、线面平行的证明方法 1、根据线面平行的定义,证直线与平面没有公共点。 2、根据线面平行的判定定理,若平面 A内存在一条直线b与平面外的直线a平行,则a//A 。 3、根据平面与平面平行的性质定理,若两平面平行,则一个平面内的任一直线与另一个平面平行。 4、向量法,向量c与,且向量c所在直线c不在平面内,则c//A。三、面面平行的证明方法 1、根据定义,若两平面没有公共点,则两平面平行。 2、根据两平面平行的判定定理,一个平面内有两相交直线与另一平面平行,则两平面平行。 或根据两平面平行的判定定理的推论,一平面内有两相交直线与另一平面内两相交直线平行,则两平面平行。 3、垂直同一直线的两平面平行。4、平行同一平面的两平面平行。 5、向量法,证明两平面的法向量共线。四、两直线垂直的证明方法 1、根据定义,证明两直线所成的角为90° 2、一直线垂直于两平行直线中的一条,也垂直于另一条. 3、一直线垂直于一个平面,则它垂直于平面内的所有直线. 4、根据三垂线定理及逆定理,若平面内的直线垂直于平面的一条斜线 或斜线在平面内的射影 ,则它垂直于斜线在平面内的射影 或平面的斜线 . 5、向量法 五、线面垂直的证明方法 1、根据定义,证明一直线与平面内的任一 所有 直线垂直,则直线垂直于平面. 2、根据判定定理,一直线垂直于平面内的两相交直线,则直线垂直于平面. 3、一直线垂直于两平行平面中的一个,也垂直于另一个. 4、两平行直线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面. 5、根据两平面垂直的性质定理,两平面垂直,则一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 6、向量法,证明平面的法向量与表示该直线的向量共线. 六、面面垂直的证明方法 1、根据面面垂直的定义,两平面相交所成的二面角为直二面角,则两平面垂直。 2、根据面面垂直的判定定理,一平面经过另一平面的一条垂线,则两平面垂直。 3、一平面垂直于两平行平面中的一个,也垂直于另一个。 4、向量法,证明两平面的法向量垂直(即法向量的数量积为零)。 七、两异面直线所成角的求法 1、根据定义,平移其中一条和另一条相交,然后在三角形中求角。 2、利用中位线,将两异面直线平移至一特殊点(中位线的交点)然后在三角形中求角。4、向量法八、直线与平面所成角的求法 1、根据定义,作出直线与平面所成角,然后在直角三角形中求角。 l
3、向量法,求出平面的法向量,然后求平面的斜线与法向量的夹角。注:对两异面直线所成角和直线与平面所成角一定要注意角的范围。 九、二面角的求法 1、定义法,从二面角的棱上的某一点分别在两个半平面内作棱的垂线,求两条垂线所形成的角。 2、根据三垂线定理,先作出二面角的平面角,再在直角三角形中求角。 3、射影面积法,先作出一个半平面内的某个多边形在另一个半平面内的射影多边形,然后由公式 cosθ s/s(其中θ为二面角的平面角, s为射影多边形的面积, s为多边形的面积)求出二面角的平面角。 4、向量法,求出两个半平面的法向量,然后求两法向量的夹角。(一般要先根据已知判断二面角是锐角还是钝角) 十、点到平面的距离的求法 1、根据定义,直接求垂线段的长度。 2、向量法,利用公式d (其中PA为平面的一条斜线,向量n?为平面的一个法向量。 3、等体积法,主要用在四面体(三棱锥)中,根据四面体的体积等于1/3底面积×高,选取不同的底面积,求出其中一条高长。 十一、平面图形翻折问题的处理方法 1、先比较翻折前后的图形,弄清哪些量和位置关系在翻折过程中不变,哪些已发生变化,然后将不变的条件集中到立体图形中,将问题归结为一个条件与结论都已知的立体几何问题。 2、有关翻折问题的计算,必须抓住在翻折过程中点、线、面之间的位置关系、数量关系中,哪些是变的,哪些没变,尤其要抓住不变量。对计算几何体上两点之间的最短距离问题,要注意转变为平面图形求两点间的距离来计算。 十二、要注意的问题 1、对推理论证与计算相结合的题目的解题原则是一作、二证、三计算。 。
5、求异面直线间的距离,若公垂线找不到,除向量法外,可以考虑构造平行平面或平行线面,转化为点面距离求。
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