竞赛数之平面几何题1.docVIP

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竞赛数之平面几何题1

平面几何题 2010如图,已经圆上的弧,过C点的圆切线与BA的延长线交于E点,证明: (Ⅰ)∠ACE=∠BCD; (Ⅱ) (I)因为, 所以. 又因为与圆相切于点,故, 所以. (II)因为, 所以∽,故, 即. 2011如图,D,E分别为的边AB,AC上的点,且不与的顶点重合.已知AE的长为m,AC的长为n,AD,AB的长是关于x的方程的两个根. (I)证明:C,B,D,E四点共圆; (II)若,且求C,B,D,E所在圆的半径. 连接DE,根据题意在ADE和ACB中, AD×AB=mn=AE×AC, 即.又DAE=∠CAB,从而ADE∽△ACB 因此ADE=∠ACB 所以C,B,D,E四点共圆。 ()m=4, n=6时,方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12. 故 AD=2,AB=12. 取CE的中点G,DB的中点F,分别过G,F作AC,AB的垂线,两垂线相交于H点,连接DH.因为C,B,D,E四点共圆,所以C,B,D,E四点所在圆的圆心为H,半径为DH. 由于A=900,故GHAB, HFAC. HF=AG=5,DF= (12-2)=5. 故C,B,D,E四点所在圆的半径为5 分别为边的中点,直线交 的外接圆于两点,若,证明: (1); (2) 【解析】(1)连接AF,因为, (2) 2012(2012年江苏省10分)如图,是圆的直径,为圆上位于异侧的两点,连结并延长至点,使,连结. 求证:. 【答案】证明:连接。 ∵是圆的直径,∴(直径所对的圆周角是直角)。 ∴(垂直的定义)。又∵,∴是线段的中垂线(线段的中垂线定义)。 ∴(线段中垂线上的点到线段两端的距离相等)。 ∴(等腰三角形等边对等角的性质)。 又∵为圆上位于异侧的两点, ∴(同弧所对圆周角相等)。 ∴(等量代换)。 如图,相交于A,B,两点,连结并延长交于点. 证明:(I)(II) 与相切于,得,同理, 所以。从而,即 ……4分 (2)由与相切于,得,又,得 从而,即,综合(1)的结论, 2012全国初中17.,⊙O 过点,且与⊙O内切于点.为⊙O上的点,与交于点,且.点在上,且,BE的延长线与交于点,求证:△BOC∽△. 证明:连接BD,因为为的直径,所以.又因为,所以△CBE是等腰三角形. 设与交于点,连接OM,则.又因为,所以 . 又因为分别是等腰△,等腰△的顶角, 所以 △BOC∽△. 2012陕西如图2,锐角内接于圆,过圆心且垂直于半径的直线分别交边于点设圆在两点处的切线相交于点. 求证:直线平分线段 . 作的平行线,分别交延长线于点,则 因为是的外心,所以 所以 又为圆的切线,所以. 所以,于是. 同理 又,所以,即平分线段. 因为,故直线平分线段. 2011辽宁22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 如图,A,B,C,D四点在同一圆上,AD的延长线与BC的延长线交于E点,且EC=ED. (I)证明:CD//AB; (II)延长CD到F,延长DC到G,使得EF=EG,证明:A,B,G,F (II)由(I)知,AE=BE,因为EF=FG,故∠EFD=∠EGC 从而∠FED=∠GEC. 连结AF,BG,则△EFA≌△EGB,故∠FAE=∠GBE, 又CD//AB,∠EDC=∠ECD,所以∠FAB=∠GBA. 所以∠AFG+∠GBA=180°. 故A,B,G,F四点共圆 2011江苏 2010辽宁(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 如图,的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E (I)证明: (II)若的面积,求的大小。 2010江苏:AB是圆O的直径,D为圆O上一点,过D作圆O的切线交AB延长线于点C,若DA=DC,求证:AB=2BC。 (方法一)证明:连结OD,则:OD⊥DC, 又OA=OD,DA=DC,所以∠DAO=∠ODA=∠DCO, ∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO, 所以∠DCO=300,∠DOC=600, 所以OC=2OD,即OB=BC=OD=OA,所以AB=2BC。 (方法二)证明:连结OD、BD。 因为AB是圆O的直径,所以∠ADB=90

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