竞赛辅导直角三角形与勾股定理.docVIP

直角三角形与勾股定理 【知识梳理】 一、直角三角形的判定： 1、有两个角互余的三角形是直角三角形。 2、勾股定理逆定理 二、直角三角形的性质 1、直角三角形两锐角互余． 2、直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半． 3、直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半； 4、勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2＋b2＝c2．5.直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2＋b2＝c2． 由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响．在△ABC中， 1 若c2＝a2＋b2，则∠C＝90°； 2 若c2＜a2＋b2，则∠C＜90°； 3 若c2＞a2＋b2，则∠C＞90°． 勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形 及多边形 的问题中有着广泛的应用． 5、勾股定理逆定理：如果三角形三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2那么这个三角形是直角三角形． 6、勾股数的定义：如果三个正整数a、b、c满足等式a2＋b2＝c2，那么这三个正整数a、b、c叫做一组勾股数。简单的勾股数有：3，4，5；　5，12，13；　7，24，25；　8，15，17；　9，40，41。 【典例精析】 ◆例1：在△ABC中，∠BAD＝90°，AB＝3，BC＝5，现将它们折叠，使B点与C点重合，求折痕DE的长。 【巩固】 1、如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ） A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.10 cm 2、四边形ABCD中，∠DAB＝60，∠B＝∠D＝90°，BC＝1，CD＝2；求对角线AC的长？ ◆例2：如图所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求证：AB2＝2FG2． 【巩固】已知△ABC中，∠A＝90°，M是BC的中点，E，F分别在AB，AC上，ME⊥MF 求证：EF2＝BE2＋CF2 ◆例3：已知正方形ABCD的边长为1，正方形EFGH内接于ABCD，AE＝a，AF＝b,且SEFGH＝ 求：的值　　 ◆例4：已知：P为△ABC内一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数 【巩固】如图，四边形ABCD中，ACBD，AC与BD交于O点，AB＝15，BC＝40，CD＝50，则AD＝________. 一个直角三角形的三条边长均为整数，它的一条直角边的长为15，那么它的另一条直角边的长有_______种可能，其中最大的值是______. A．B． C． D．中，，是底边上的高，若， 则 cm． 3、已知ABCD，△ABD，△BCE都是等腰三角形，CD＝8，BE＝3，则AC的长等于（ ） A.8 B.5 C.3 D. 4、如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是 A．13 B．26 C．47 D．945、如图，在矩形ABCD中，在DC上存在一点E，沿直线AE折叠，使点D恰好落在BC边上，设此点为F，若△ABF的面积为30cm2，那么折叠的△AED的面积为_______. A D B E C A C D B