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广东工业大学试卷用纸，共 3 页，第 页 广东工业大学试卷参考答案及评分标准 A 课程名称: 高等数学（下） （满分100分） 考试时间: 2007 年 6 月 25 日 第 17 周 星期一 一、填空题：（4分×5＝20分） 1 2 3 4 5 二、选择题：（4分×5＝20分） 1 A 2 C 3 B 4 A 5 D 三、计算题（每小题8分，共24分） 1. 计算 ，其中是球面 被平面 所截得 的圆周。 解：由对称性知道 （2分） 所以 （8分） 2．利用级数收敛的必要条件，证明：对于 ，。 证明：考虑正项级数 ，一般项为， （2分） 学 院 ： 专业： 学号： 姓名： 装 订 线 装 订 线 装 订 线 由比式判别法知 （6分） 收敛，由级数收敛之必要条件，对于 ，。 （8分） 3. 在平面上求一点，使它到三直线 距离平方和最小。 解：设所求点为，目标函数为 （3分） 令 （5分） （7分） 为唯一驻点，由实际，到三直线的距离平方和最小的点一定存在， 所以为所求的点。 （8分） 四、（8分）设 ，求 。 解： （2分） 由于 （4分） 从而 （6分） （8分） 五、（8分）应用格林公式计算曲线积分：，其中是以为顶点的三角形，方向取正向。 解：三条线段的方程为： （2分） 而 ，从而 （4分） 其中三角形区域（如图），分成两部分。 （8分） 4．设 是可导函数，且满足条件：，则曲线 在点处的切线斜率为 （ ） 。 （A） （B） （C） （D） 5．设：，则： （ ） A． B. C． D. 三、计算题（共49分） 求：。 求： 在 上的最大值与最小值。 设：，求：。 装 订 线 装 订 线 六、（10分）计算二重积分，其中是由直线 围成的三角形区域。 解：设 （如图），则 （1分） 型区域：， （2分） 分成： （4分） 从而 （10分） 七、（10分）应用幂级数性质求 。 解：令 ，由于 （2分） 即收敛区域为：，由逐项微分之性质， ， ， （5分） 由逐项积分之性质， （7分） 所以，从而 ，因此， （9分） （10分） ， ，