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浅谈二面角的求法 大沥高级中学数学科组 周艳芬 摘要：在立体几何中，求二面角的大小是一个重点，更是一个难点。在每年的高考中，求二面角的大小，几乎成了必考的知识点，但学生却对这个知识点有所害怕，不知从和入手。本文对求二面角的方法作了一个总结。 关键词：二面角 平面角 三垂线定理 空间向量 在高考中，立体几何占的分值比较大，学生觉得在学习的过程中有一定的难度，他们觉得，立几中要记的定义，定理和方法比较多，再加上还要运用空间想象和空间思维能力，因此，空间立体几何对他们来说，真的有一定的难度。但事实上，只要对某一方面的知识点作一个总结，我相信还是有一定的好处。下面我就求二面角的大小的方法作一个总结。 （一）二面角定义的回顾： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形就叫做二面角。二面角的大小是用二面角的平面角来衡量的。而二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线，则为二面角的平面角。 二 二面角的通常求法 （1）由定义作出二面角的平面角； （2）作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角。 （3）利用三垂线定理（逆定理）作出二面角的平面角； （4）空间坐标求二面角的大小 其中，（1）（2）点主要是根据定义来找二面角的平面角，再利用三角形的正、余弦定理解三角形。 下面举一些例子： 例１：在正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B-AD-C后，BC AB，求二面角B-AD-C的大小。 证明：连结BC 在等边三角形ABC中 设AB AC a,则BD CD a 例2： 2003北京春,19 如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,侧棱AA1长为1,底面为正方体且边长为2,E是棱BC的中点,求面C1DE与面CDE所成二面角的正切值. 解：在长方体ABCD—A1B1C1D1中 由三垂线定理可得： ? CD?????CE 1, DE 例3：（2006年广东高考题）如图右所示，分别是⊙、⊙的直径，与两圆所在的平面均垂直，，是⊙的直径，， （1）求二面角的大小； 解：（法一） 均与两圆所在的平面垂直 故是二面角的平面角。 BC是⊙的直径，AB AC 又AF是⊙的直径 四边形ABCF是正方形 450 即二面角的大小为450 （法二）运用空间向量坐标运算 以A为原点建立空间直角坐标系A-XYZ，如图所示： 由（法一）可知：四边形ABCF是正方形 则A（0，0，0），D（0，0，8） ，B（6，0，0），C（0，6，0），F（6，6，0） ， 又，是面DAB的法向量 同理，， 又 是面DAF的法向量 ∵二面角所成的角为锐角 ∴二面角的大小为450 （法三）以A为原点建立空间直角坐标系A-XYZ，如图所示： 由（法一）可知：四边形ABCF是正方形 则A（0，0，0），D（0，0，8） ，B（6，0，0），C（0，6，0），F（6，6，0） ， 设为面DAB的法向量，则 即,令，则 同理：设为面DAF的法向量，则 ∵二面角所成的角为锐角 ∴二面角的大小为450 注意：在运用坐标运算求二面角的大小的时候，必须先找出这两个半平面的法向量，然后运用向量夹角公式求二面角的大小。 求二面角的大小还有很多的方法，这里只是列举了几个常用的方法，希望同学们能在解题的时候加以总结，争取在高考中旗开得胜！ B A O O A B l A A D C B A D C B A D1 方法：运用定义找二面角的平面角 E C1 B1 A1 D C B A O 方法：利用三垂线定理找二面角的平面角 x y 方法：运用定义找二面角的平面角 方法：运用坐标运算求二面角的平面角 z 技巧：求两个半平面的法向量