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单自由度系统的有阻尼自由振动 石烨佳 指导教师：叶红玲博士 摘要：振动是日常生活中普遍存在的现象，掌握振动的基本规律，可以更好地利用有力的振动而减少振动的危害。本文主要运用振动微分方程解释单自由度系统的有阻尼自由振动情况，并得出阻尼对振动的影响及振动规律，从而画出振动曲线，方便后面对振动更深入的研究。 关键词：粘性阻尼；自由振动；欠阻尼状态；临界阻尼状态；过阻尼状态 1 引言 1.1 阻尼 实际中的自由振动多是随时间不断衰减，直到最后振动停止。说明在振动过程中，系统除受恢复力的作用外，还存在着某种影响振动的阻力，由于这种阻力的存在而不断消耗着振动的能量，使振幅不断地减小。振动过程中阻力习惯上称为阻尼。当振动不大时，由于介质粘性引起的阻力近似地与速度的一次方成正比，这样的阻尼称为粘性阻尼。设振动质点的运动速度为，则粘性阻尼的阻力表示为 其中比例常数称为粘性阻力系数，负号表示阻力与速度的方向相反。 当振动系统存在粘性阻尼时，经常用如图4-12a所示的阻尼元件表示。一般的机械振动系统都可以简化为由惯性元件（）、弹性元件（）和阻尼元件（）组成的系统。 图4-12a 2 振动微分方程 2.1 图形分析 如图4-12b所示的振动系统，其中物块质量为，恢复力为，粘性阻尼力为，向下的速度为，以平衡位置为坐标原点，轴方向铅直向下，为弹簧的弹性系数。 图4-12b 2.2 计算过程 物块的振动微分方程为 将上式两端除以，得 令， 为固有角频率，微阻尼系数，整理得 上式为有阻尼自由振动方程的标准形式，它仍是一个二阶齐次常系数线性微分方程，其特征方程为 解得两个根为， 则二阶齐次常系数线性微分方程的通解为 ，为实数或复数时，物体的运动规律会有很大的不同，因此分别按按，和三种不同状态进行讨论。 3 分析与讨论 3.1 欠阻尼状态 当，即，阻力系数时，阻尼较小，称为欠阻尼状态。此时特征方程的解， 其中，则二阶齐次常系数线性微分方程的通解为 整理得 其中和为两个积分常数，由运动的初始条件确定；，表示有阻尼自由振动的固有角频率。 设在初瞬时，质点的坐标为，速度，可求出，，从而求得有阻尼自由振动中的初始振幅和初相角： 式是欠阻尼状态下的自由振动表达式，这种振动的振幅是随时间不断衰减的，所以又称为衰减振动，其运动图线如图4-13所示，其中为此振动振幅。 图4-13 衰减周期记为，则有 其中 称为阻尼比。因为此状态下，所以可得到有阻尼自由振动的周期、频率和角频率与相应无阻尼自由振动的，和之间的关系为 ，， 因为，所以两个相邻振幅之比为 其中为缩减因数。对上式两端取自然对数得 因此也是反映阻尼特性的一个参数。 3.2 临界阻尼状态 当时，为临界阻尼状态。这时系统的阻力系数用临界阻力系数表示，将其带入，得 此时特征方程有两个相等的实根，即 ， 则二阶齐次常系数线性微分方程的通解为 3.3 过阻尼状态 当时，为过阻尼状态。阻力系数，此时特征方程有两个不相等的实数根，即 ， 则二阶齐次常系数线性微分方程的通解为 其运动图线如图4-14所示。 图4-14 4 结论 在欠阻尼状态下，由于阻尼的存在，是系统自由振动的周期增大，频率减小。由缩减因数可看出，阻尼对自由振动的频率影响较小，但阻尼对自由振动的振幅影响较大，使振幅呈几何级数下降；在临界阻尼状态下，物体的运动随时间的增长而无限趋向平衡位置，因此运动不具有振动的特点；在过阻尼状态下，物体的运动随时间的增长而无限趋向平衡位置，因此运动也不具有振动的特点。 致谢：叶红玲博士 （责任编辑：叶红玲） 5 参考文献 哈尔滨工业大学理论力学教研室. 理论力学（II）第7版.北京：高等教育出版社.2012：65~69