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数学分析答案62237new.doc
数学分析
上册 第三版
华东师范大学数学系 编
部分习题参考解答
P.4 习题
1.设a为有理数,x为无理数,证明:
(1)a + x是无理数; (2)当时,ax 是无理数.
证明 (1)(反证)假设a + x是有理数,则由有理数对减法的封闭性,知 x a +x – a 是有理数. 这与题设“x为无理数”矛盾,故a + x是无理数.
(2)假设ax 是有理数,于是是有理数,这与题设“x为无理数”矛盾,故ax是无理数.
3.设,证明:若对任何正数ε有,则 a b .
证明 由题设,对任何正数ε有,再由教材P.3 例2,可得,于是,从而 a b .
另证 (反证)假设,由实数的稠密性,存在 r 使得. 这与题设“对任何正数ε有”矛盾,于是,从而 a b .
5.证明:对任何有
(1); (2)
证明 (1)
(2)因为,
所以
6.设证明
证明 建立坐标系如图,在三角形OAC中,OA
的长度是,OC的长度是,
AC的长度为. 因为三角形两边的差
小于第三边,所以有
7.设 ,证明介于1与之间.
证明 因为,
所以介于1与之间.
8.设 p 为正整数,证明:若 p 不是完全平方数,则是无理数.
证明 (反证)假设为有理数,则存在正整数 m、n使得,其中m、n互素. 于是,因为 p 不是完全平方数,所以 p 能整除 n ,即存在整数 k ,使得. 于是,,从而 p 是 m 的约数,故m、n有公约数 p. 这与“m、n互素”矛盾. 所以是无理数.
P.9 习题
2.设S为非空数集,试对下列概念给出定义:
(1)S无上界;
若,,使得,则称S无上界.
(请与S有上界的定义相比较:若,使得,有,则称S有上界)
(2)S无界.
若,,使得,则称S无界.
(请与S有界的定义相比较:若,使得,有,则称S有界)
3.试证明数集有上界而无下界.
证明 ,有,故2是S的一个上界.
而对,取,,但. 故数集S无下界.
4.求下列数集的上、下确界,并依定义加以验证:
(1)
解 ,. 下面依定义加以验证(可类似进行).
,有,即是S的一个上界,是S的一个下界.
,若,则,都有;若,则由实数的稠密性,必有实数 r ,使得,即,不是上界,所以.
(2)
解 S无上界,故无上确界,非正常上确界为.
下面证明:.
① ,有,即 1 是S的一个下界;
② ,因为 ,即不是S的下界. 所以 .
3
解 仿照教材P.6例2的方法,可以验证:.
⑷
解 ,
首先验证.
① ,有,即 1 是S的一个上界;
② ,取正整数,使得,于是取. 从而,且.
所以
5.设S为非空有下界数集,证明:
证明:)设,则对一切,有,而,故是数集S中的最小的数,即.
)设,则;下面验证;
⑴ 对一切,有,即是数集S的下界;
⑵ 对任何,只须取,则. 所以.
6.设S为非空数集,定义. 证明:
⑴ ⑵
证 ⑴ 设,下面证明:.
① 对一切,有. 因为,所以有,于是,即是数集S的上界;
② 对任何,有. 因为,所以存在,使得. 于是有,使得.
由①,②可知.
7.设A、B皆为非空有界数集,定义数集
证明:(1); (2)
证明 (1)因为A、B皆为非空有界数集,所以和都存在.
,由定义分别存在,使得. 由于,,故,即是数集的一个上界.
,(要证不是数集的上界),,由上确界的定义,知存在,使得. 于是,再由上确界的定义,知存在,使得. 从而,且. 因此是数集的上确界,即
另证 ,由定义分别存在,使得. 由于,,故,于是
. ①
由上确界的定义,,,使得,,使得,从而,由教材P.3 例2,可得 ②
由①、②,可得
类似地可证明:
P.15 习题
9.试作函数的图象
解 是以2π为周期,
定义域为,值域为
的分段线性函数,其图象如图.
11.试问是初等函数吗?
解 因为,可看成是两个初等函数与的复合,所以是初等函数.
12.证明关于函数的如下不等式:
(1)当时, (2)当时,
证明 (1)因为 ,所以当时,有,从而有.
(2)当时,在不等式中同时乘以x,可得,从而得到所需要的不等式.
P.20 习题
1.证明是R上的有界函数.
证明 因为对R 中的任何实数x 有
所以 f 在R上有界.
2.(1)叙述无界函数的定义;
(2)证明为(0,1)上的无界函数;
(3)举出函数 f 的例子,使 f 为闭区间 [0,1] 上的无界函数.
解 (1)设函数,若对任何,都存在,使得,则称 f 是D 上的无界函数.
(2)分析:,要找,使得. 为此只需.
证明 ,取,则,且,所以f 为区间(0,1)上的无界函数.
(3)函数 是闭区间 [0,1] 上的无界函数.
7.设、为
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