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19华东师范大学2005数学系.doc
华东师范大学数学系
2005年攻读硕士学位研究生入学试题
数学分析
一. 每题6分, 24分 判别下列命题的真伪(正确的命题请简要证明, 错误的命题请举出反例.
1. 的一个充要条件是:存在正整数, 对于任意正数,当时,均有。
解:不正确,现给出命题“存在正整数, 对于任意正数,当时,均有”。的逆命题“对任意的,存在,和,使得”。
例:,则,但对任意的,取,和有,即“存在正整数, 对于任意正数,当时,均有”不成立。
2.设在上一致连续,则在上一致连续。 解,不正确,例,显然在上一致连续,但在上不一致连续,因为取,有和,而,所以在上不一致连续。
3.设则正项级数收敛.
解:不正确,例,这时但发散。
4. 设在点沿任何方向的方向导数都存在, 则函数在点连续。
解:不正确,例: ,
,,即在处的偏导数存在,根据方向导数的定义知沿任何方向的方向导数都存在,但
,
。
因此不存在,故在处不连续。
二.每题8分,共64分 计算下列各题:
求极限
解:
。
求极限
解:
求曲线在处的切线方程。
解:两边对求导得,所以,在处的切线方程。。
设在R上连续,求。
解:。
求 。
解:
。
设求, 。
解:
,
计算得。
7. 设是有向曲面外侧,求第二型曲面积分。
解:。
设椭球面的切平面与三个坐标平面所围成的几何体的最小体积。
解:因为曲面上任意一点处的法向量为
,
于是过点的切平面方程为
,
则切平面与坐标轴的交点为,切平面与三个坐标平面所围成的几何体的体积,下面用拉格朗日乘数法求最小体积,作 , ,和
解得:,,。
三. 第1题至第4题每题12分,第5题14分,共62分 证明以下各题:
设在有限区间上一致连续.求证:在上有界。
证明:函数在区间上一致连续,则,,对任意,,成立,则对任意和都有,故由极限收敛的柯西准则知和存在有限。
令
,
则在闭区间连续,所以在有界,因此即在上有界。
2.已知求证:条件收敛。
证明:,即单调递减,且,所以 。故收敛,而发散,因此条件收敛。
3.设在区间上连续, .求证:函数列在上一致收敛。
证明:由最大最小值定理存在,使得对任意有 ,于是由夹逼定理有 ,且
,
若,则对任意有
;
若,则对任意有
;
故函数列在上一致收敛。
4.设在上连续.求证:在上连续。
证明:因为在上一致连续,任给,对于任意,存在,对任意,当,有,
,
即 ,在上连续。
5.设是在区间上的有界连续函数,且对于任意实数方程至多只有有限个解. 求证: 存在。 证明:设,取区间的中点,因为方程至多只有有限个解,所以存在,当时,无解,再由连续知保号,若,取,否则,则得区间,且当时,;又取区间的中点,方程至多只有有限个解和的连续性,则同上步骤可得,且存在,当时,;继续进行下去,得闭区间套,,且存在,,使得当时,,由闭区间套定理存在,当时,,
对任意的,存在,当时, ,所以存在,当时,,即存在且值为。
证法2:用反证法。假设不存在,由于是有界函数,故由归结原则和致密性定理知道存在两个趋向正无穷的无限点列,使,而且,不妨设,于是对,存在自然数N,当时,恒有,因为是连续函数,由连续函数的介值定理知道存在,使,则方程有无限多个解 ,与题设条件矛盾,故假设不成立,即存在。
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