天津科技大学概与统计(多统计)复习.doc

要求：将答案写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上无效，交卷时将试卷和答题纸分开交。 参考数据:，，， ，，. 一、填空题（每小题3分，共30分） 1． 在电话号码簿中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率 0.504 或 . 1’某人忘记了电话号码的最后一位数字，他随机拨最后一个号码，则他拨号不超过两次就可以拨通的概率. 2. 三人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别是，则他们将此密码译出的概率 ； 3. 设是两个随机事件，已知 ，则 ； 4. 、若随机变量的概率密度函数为 （1）求值； （2）求分布函数； （3）求概率。 （10分） 解： 1 由，得. 于是，随机变量的概率密度为 （2）. 当时，， 当时，， 当时，. 所以，随机变量的分布函数为 （3） 4’．设随机变量的概率密度 （10分） 1 求值； （2）求分布函数； 3 求P 2 x 3 解 1 由， （4分） 得。 （6分） （2）。 当时，， 当时，， （8分） 当时，。 所以，随机变量的分布函数为 （10分） 5. 若连续型随机变量的分布函数为 （1）求的值；（2）求的概率密度函数；（3）求概率. 解 （1）因为是连续型随机变量，其分布函数在（）上连续，所以 ，即 （2） （3）概率 5’. 设随机变量的分布函数为 ， ， 其中.（1）求概率密度； 解：（1）随机变量的分布函数为, 由于在的可导点，得随机变量的概率密度为 （4分） 6. 设总体，随机抽取样本，则 ; 6’ 总体，则统计量 服从 分布。 6” .设为来自正态总体的简单随机样本. 记，，， 证明． 证 记，则 ，，。 由于与相互独立，所以，，且 ，。 又因为 ，且与相互独立，所以由分布的定义知 7. 、某品牌清漆的干燥时间（小时），现随机抽取9个样品，算得样本均值.若由以往经验知，求的置信水平为0.95的置信区间. 解：，，查标准正态分布表得。 又因为6，故所求置信区间为 （） 即 （5.608，6.392） . 7’、（8分）从一批钉子中抽取16枚，测得长度的样本均值，样本标准差为，设钉长分布为正态，为未知，试求总体期望的置信度为0.90的置信区间. 二、选择题 1. 随机变量与相互独立是的（ ）条件. ① 充要； ② 充分； ③ 必要； ④ 即非充分又非必要 2. 若随机变量服从正态分布，则 3.已知随机变量且，设，则（ ② 4 ）． ① 2； ② 4； ③ ； ④ 3’.设两个相互独立的随机变量和的方差分别为4和2，则随机变量的方差是（ ④ 44 ）． ① 8； ② 16； ③ 28； ④ 44 4.设为来自正态总体的样本，已知，是总体均值的无偏估计量，则 ；且中较为有效的是 （填或）； 三． 四、（12分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，用表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数. （1）写出的概率函数； （2）利用棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理，求索赔户中被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值. 解（1），（2分）概率函数为 。（4分） 2 ,，（6分） 由中心极限定理得 （9分） （12分） 五、若随机变量的概率密度为, 求随机变量 的概率密度函数 . （7分） 解 设的分布函数为， （4分） 于是的概率密度函数为 注意到 时, ， 即时, . 所以 （7分） 五‘. （10分）设，求的概率密度. 解 的密度为 （2分） 当时，， （3分） 当时，， （7分） 当时，， （8分） 所以的密度为 （10分） 六、（10分）设连续总体的概率密度函数为 ，其中， 为来自总体的样本，求未知参数的最大似然估计量. 解 最大似然估计：设样本观测值为，似然函数 ，（3分） ， （5分） 由 ， （8分） 得的最大似然估计量。 （10分） 七、（、某机器正常工作时，生产的金属棒的长度（单位：mm）. 从该机器生产的一批金属棒中随机抽取16根，测得它们的平均长度为mm. 若已知总体方差不变，检验该机器工作是否正常.（取显著性水平） （9分） 解：由已知要检验的假设是， （2分） 由于总体方差已知，故采用检验，选取检验统计量 当成立时 由已知条件计算可得统计量的观测值 （6分） 从而 所以接受原假设，即在显著性水平下认为该切割机工作正常。（9分） 七‘. 某企业生产的电器元件的电阻服从正态分布，且一直保持在2.64。改变加工工艺后，测试了25个元件的电阻，算得样本平均值，样本标准差，问新工艺对电器元件电阻的数学期望有无显著影响（取显著性水平）？ （10分） 解 ：2.64 ：2.64 检验统计量 由于 而 ，且 ，故新工艺对电器元件电阻