平面向量的数量的物理背景及其含义.doc

2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义 一、复习引入： （1）两个非零向量夹角的概念： 已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角. 说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向； （2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向； （3）当θ＝时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0(≤(≤180( （2）两向量共线的判定 （3）练习 1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（ C ） A.6 B.5 C.7 D.8 2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（ B ） A.-3 B.-1 C.1 D.3 （4）力做的功：W = |F|(|s|cos(，(是F与s的夹角. 二、讲解新课： 1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ， 则数量|a||b|cos(叫ａ与ｂ的数量积，记作a(b，即有a(b = |a||b|cos(，（０≤θ≤π）. 并规定0向量与任何向量的数量积为0. (探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？ 2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？ （1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos(的符号所决定. （2）两个向量的数量积称为内积，写成a(b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a(b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. （3）在实数中，若a(0，且a(b=0，则b=0；但是在数量积中，若a(0，且a(b=0，不能推出b=0.因为其中cos(有可能为0. （4）已知实数a、b、c(b(0)，则ab=bc ( a=c.但是a(b = b(c a = c 如右图：a(b = |a||b|cos( = |b||OA|，b(c = |b||c|cos( = |b||OA| ( a(b = b(c 但a ( c (5)在实数中，有(a(b)c = a(b(c)，但是(a(b)c ( a(b(c) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线. 2．“投影”的概念：作图 定义：|b|cos(叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量； 当(为锐角时投影为正值； 当(为钝角时投影为负值； 当(为直角时投影为0； 当( = 0(时投影为 |b|； 当( = 180(时投影为 (|b|. 3．向量的数量积的几何意义： 数量积a(b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos(的乘积. 探究：两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量， 1、a(b ( a(b = 0 2、当a与b同向时，a(b = |a||b|； 当a与b反向时，a(b = (|a||b|. 特别的a(a = |a|2或 |a(b| ≤ |a||b| cos( = 探究：平面向量数量积的运算律 1．交换律：a ( b = b ( a 证：设a，b夹角为(，则a ( b = |a||b|cos(，b ( a = |b||a|cos( ∴a ( b = b ( a 2．数乘结合律：(a)(b =(a(b) = a((b) 证：若 0，(a)(b =|a||b|cos(， (a(b) =|a||b|cos(，a((b) =|a||b|cos(， 若 0，(a)(b =|a||b|cos(((() = (|a||b|((cos() =|a||b|cos(，(a(b) =|a||b|cos(， a((b) =|a||b|cos(((() = (|a||b|((cos() =|a||b|cos(. 3．分配律：(a + b)(c = a(c + b(c 在平面内取一点O，作= a， = b，= c， ∵a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cos( = |a| cos(1 + |b| cos(2 ∴| c | |a + b| cos( =|c| |a| cos(1 + |c| |b| cos(2， ∴c((a + b) = c(a + c(b 即：(a + b)(c = a(c + b(c 说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с） （2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ （3）有如下常用性质：