数学导数空间角锥曲线复习.doc

复习提纲 2011-5-23 一、空间的角的计算（利用空间向量的方法，常建立空间直角坐标系） 1．异面直线所成的角 （1）设两异面直线所成的角为(，它们的方向向量为，，则 cos(＝|cos,|＝ （2）范围：(0，] 2．直线与平面所成的角 （1）设直线l与平面(所成的角为(，l的方向向量为，平面(的法向量为，则 sin(＝|cos,|＝ （2）范围：[0，] ※注意：求平面的法向量 ①若已存在，则只需证明该向量与平面内的两条交线垂直（即数量积等于0）； ②用待定系数法求法向量，列三元一次方程组（两条交线对应两个方程） 3．二面角 （1）设二面角(－l－(的平面角为(，平面(、(的法向量为、，则 |cos(|＝|cos,|＝ （2）范围：[0，(] 二、导数及其应用 1．导数的概念 （1）平均变化率：＝＝＝． （2）瞬时变化率 ＝＝，当△x无限趋近于0时，平均变化率就无限趋近于函数在x0点的瞬时变化率． ※注意：当△t→0时，平均速度＝→瞬时速度v， 即瞬时速度是位移对于时间的瞬时变化率； 当△t→0时，平均加速度＝→瞬时加速度a， 即瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率． →0时，→A，称f (x)x＝x0处可导，并称常数A为函数f (x)在x＝x0处的导数，记作f ’(x0)或y’|x＝x． 若f (x)在开区间(a，b)内每一点都有导数， 则称f (x)在区间(a，b)内可导，对任一个x0∈(a，b)都对应一个f ’(x0)，这样构成(a，b)内一个新的函数，称为f (x)在(a，b)内的导函数，简称导数，记作f ’(x)或y’． 2．导数的几何意义 （1）函数y＝f (x)在点x0处的导数的几何意义：曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的斜率，∴过切点的切线方程为y－y0＝f ’(x0)(x－x0)． ※注意：①“在某点的切线”和“过某点的切线”的含义不同，前者表示该点一定是切点（该点也一定在曲线上），而后者则未必（可能是切点也可能不是，可能在曲线上也可能不在）． ②在曲线上的一点作曲线的切线，至多有一条（有可能不存在）；而曲线的切线与曲线的公共点可能不止一个． y＝f (x)在点x＝x0处导数的基本方法 方法一：导数定义法 ①求函数的增量△y＝f (x0＋△x)－f (x0)； ②求平均变化率＝； ③令△x→0，得→A，即f ’(x0)． 方法二：导函数的函数值法 ①求函数f (x)在开区间(a，b)内的导函数f ’(x)； ②将x0∈(a，b)代入 3．导数的计算 （1）四则运算 [f (x)±g (x)]’＝f ’(x)±g ’(x) [Cf (x)]’＝Cf ’(x)，其中C为常数 [f (x)·g (x)]’＝f ’(x)·g (x)＋f (x)·g ’(x) []’＝ （2）简单初等函数的导数 C ’＝0，C为常数； (x()’＝(x(－1，(∈Q 特别的，x ’＝1，(x2)’＝2x，(x3)’＝3x2，()’＝－，()’＝； (ax)’＝a＞0，且a≠1） 特别的，(ex)’＝’＝（a＞0，且a≠1） 特别的，(lnx)’＝； (sinx)’＝cosx，(cosx)’＝－sinx （3）复合函数的导数：yx’＝yu’· ux’ 一般按以下三个步骤进行：适当选定中间变量，正确分解复合关系； 　　分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）； 　　把中间变量代回原自变量（一般是x）的函数。 　　也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y＝f ()，＝ (x)（一般内层为一次函数）；然后将已知函数对中间变量求导yu’），中间变量对自变量求导x’）；最后求y’· ux’，并将中间变量代回为自变量的函数。整个过程可简记为分解求导－回代。熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。 （4）可导的奇函数的导函数是偶函数；可导的偶函数的导函数是奇函数 （1）若f ’(x)则f (x)；若f ’(x)则f (x)为减函数；若f ’(x)恒成立则f (x)为常数函数※注意：可导函数y＝f (x)在某个区间内f ’(x)＞0是函数f (x)在该区间上为增函数的充分条件． （2）若函数y＝f (x)在区间a，b)上单调递增，则f ’(x)，；若函数y＝f (x)在区间a，b)上单调递减，则f ’(x)，。 ※导数求单调性可用于证明不等式（不等式一端化为0）（1）设函数f (x)在点x附近有定义，如果对x附近所有的点，都有f (x)＜f (x)，就说是f (x)函数f (x)的一个极大值记作y＝f (x)；如果对x附近所有的点，都有f (x)＞f (x)，