【步步高】204届高三数学大一轮复习 2.3函数的奇偶性与周期性教案 理 新人教A版.doc

§2.3　函数的奇偶性与周期性 2014高考会这样考　1.判断函数的奇偶性；2.利用函数的奇偶性求参数；3.函数的奇偶性、周期性和单调性的综合应用． 复习备考要这样做　1.结合函数的图象理解函数的奇偶性、周期性；2.注意函数奇偶性和周期性的小综合问题；3.利用函数的性质解决有关问题． 1． 奇、偶函数的概念 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称． 2． 奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． (2)在公共定义域内， ①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积都是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数． 3． 周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． [难点正本　疑点清源] 1． 函数奇偶性的判断 (1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件； (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立． 2． 函数奇偶性的性质 (1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0. (2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上： 奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． (3)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反． 1． (课本改编题)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________． 答案　 解析　由f(x)是偶函数知，f(x)＝f(－x)， 即ax2＋bx＝a(－x)2－bx，∴2bx＝0，∴b＝0. 又f(x)的定义域应关于原点对称， 即(a－1)＋2a＝0，∴a＝，故a＋b＝. 2． (2011·广东)设函数f(x)＝x3cos x＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝________. 答案　－9 解析　令g(x)＝f(x)－1＝x3cos x， ∵g(－x)＝(－x)3cos(－x)＝－x3cos x＝－g(x)， ∴g(x)为定义在R上的奇函数．又∵f(a)＝11， ∴g(a)＝f(a)－1＝10，g(－a)＝－g(a)＝－10. 又g(－a)＝f(－a)－1，∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－9. 3． 设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x，则满足f(x)0的x的取值范围是________． 答案　(－1,0)∪(1，＋∞)解析　画草图，由f(x)为奇函数知：f(x)0的x的取值范围为(－1,0)∪(1，＋∞)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4． 函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则(　　) A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数 C．f(x)＝f(x＋2) D．f(x＋3)是奇函数 答案　D 解析　因为f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数， 所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)， 即f(－x)＝－f(2＋x)，f(－x－1)＝－f(x－1)， 即f(－x)＝－f(－2＋x)，于是f(x＋2)＝f(x－2)， 即f(x)＝f(x＋4)， 所以函数f(x)是周期T＝4的周期函数． 所以f(－x－1＋4)＝－f(x－1＋4)， f(－x＋3)＝－f(x＋3)， 即f(x＋3)是奇函数． 5． (2011·大纲全国)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f等于(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　A 解析　∵f(x)是周期为2的奇函数， ∴f＝f ＝f＝－f＝－2××＝－. 题型一　判断函数的奇偶性 例1　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝(x＋1) ； (3)f(x)＝. 思维启迪：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是