八年级数学竞赛座 第二十讲 飞跃-从全等到相似 新版.doc

第二十讲 飞跃-从全等到相似 全等三角形是相似三角形的相似比等于1的特殊情况，从全等到相似是认识上的一个巨大飞跃，不但认识形式上有质的变化．而且思维方式也产生突变，相等是全等三角形的主旋律，在相似形的问题中出现的线段间的关系比全等形中的等量关系复杂，不仅有比例式，还有等积式、平方式、线段乘积的和、差、线段比的和差等． 通过寻找(或构造)相似三角形，用以计算或论证的方法，我们称为相似三角形法，在线段长度的计算、角相等的证明、比例线段的证明等方面有广泛的应用，是几何学中应用最广泛的方法之一． 熟悉以下形如“A型”、“X型”“子母型”等相似三角形． 例题求解 【例1】如图，△ABC中，∠ABC=60’°，点P是△ABC内一点，使得∠APB=∠BPC=∠CPA，且PA=8，PC=6，则PB= ． (全国初中数学竞赛题) 思路点拨 PA、PB、PC分别是△ABP、△BCP的边，从判定这两个三角形的关系入手． 注 相似是几何中的一个概念，但相似性不仅表现在事物的几何形态上，而且还体现在事物的功能、结构、原理上． 类比推理也贯穿在物理学的全部发展过程中，著名物理学家麦克斯韦曾说：“借助类比，我试图以便利的形式提出研究电现象所必须的数学手段和公式．” 在新事物面前，人们往往习惯于把它们与原有的、熟知的事物相比．这里蕴含的思想方法就是类比． 【例2】 a、b、c分别是△ABC的三边的长，且，则它的内角∠A、∠B的关系是( ) A．∠B2∠A B．∠B=2∠A C．∠B2∠A D．不确定 (全国初中数学联赛试题) 思路点拨 先化简已知等式，根据所得等式构造相应线段，通过全等或相似寻找角的关系． 【例3】 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：BP2=PE×PF (吉林省中考题) 思路点拨 由于BP、PE、PF在同一条直线上，所以必须通过作辅助线寻找等线段来转化问题． 【例4】 如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC(ABAE) ． (1)△AEF与△EFC是否相似，若相似，证明你的结论，若不相似，请说明理由； (2)设，是否存在这样的值，使△AEF与△BFC相似?若存在，证明你的结论并求出的值：若不存在，说明理由． (重庆市中考题) 思路点拨 本例是一道存在性探索问题，对于(2)，假设存在，则Rt△AEF与Rt△BFC中有一对锐角相等，怎样由边的比值得出角的关系?不妨从特殊角入手，逆推求出的值． 【例5】 如图，△ABC和△AlBlC1均为正三角形，BC和B1C1的中点均为D．求证：AA1⊥CC1． (重庆市竞赛题) 思路点拨 作出等边三角形最基本的辅助线，并延长AAl交CCl于E，寻找相似三角形，证明∠A=90°． 注 比例线段(或等积式的)证明是几何问题中的常见题型．基本证法有： (1)从相似三角形入手； (2)利用平行截割定理． 有时需根据要证明的式子，过恰当的点作平行线，在具体证明过程中，常常要作等线段代换、等比代抉或等积代换，以促使问题的转化． 将问题置于几何问题的背景中探索，要综合运用几何代数知识，多角度思考尝试，需要注意的是，若题目没有指出具体的对应关系，结论常常具有不确定性，需要分类讨论． 学力训练 1．如图，由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC，在网格上，画出一个与△ABC相似且面积最大的△A1BlC1，使它的三个顶点都落在小正方形的顶点上，则△A1BlC1的面积是 ． (泰州市中考题) 2．如图，在△ABC中，AB=15cm，AC=12cm，AD是∠BAC的外角平分线，DE∥AB交AC的延长线于点C，那么CE= cm． (重庆市中考题) 3．如图，正方形ABCD的边长为2，AE=BE，MN=1，线段MN的两端点在CB、CD上滑动，当CM= 时，△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似． (桂林市中考题) 4．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，有下列结论：①∠BAE=30°；②CE2=AB×CF；③CF=CD；④△ABE∽△AEF．其中正确结论的序号是 ． (黄冈市中考题) 5．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC中点，AE⊥AD交CB延长线于点E，则结论正确的是( ) A．△AEDt∽△ACD B．△