北京市朝阳区高学习目标与检测(理)讲义复习第二章第一讲：向量及线性运算答案.doc

第二章 平面向量 2.1平面向量及线性运算 一、学习要求： 　了解向量的实际背景理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义理解向量的几何表示掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义了解向量线性运算的性质及其几何意义，，表示），或用，等表示. 3．向量的长度：向量的大小也就是向量的长度（或称模），记作||，向量a的模记作|a| . 4．零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0. 即|0|=0. 5.单位向量： 长度为1的向量叫做单位向量. 6．向量的相等： 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 若向量a，b相等，记作a =b. 规定零向量与零向量相等. 7.平行向量： 方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量. 平行向量也叫做共线向量. 若向量a，b平行，记作a∥b. 规定零向量0与任何向量平行 ． 8.向量加法的平行四边形法则：以同一点A为起点的两个已知向量a，b为邻边作平行四边形ABCD，则以点A为起点的对角线就是a +b. 9.向量加法的三角形法则：以向量a的终点A为向量b的起点，则以向量a的起点O为起点，以向量b的终点B为终点的向量就是a +b. 10.向量加法的运算律：①交换律：a +b = b+a；②结合律：(a +b)+c = a+(b+c). 11.相反向量：与a 长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量，记作-a . 规定-0 = 0. 12.向量减法的三角形法则：如图，已知向量a、b=a，=b，则向量=b-a，表示从向量b的终点指向向量a的终点O的向量b. 13.实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个 向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|=|λ||a| ；②当λ0时，λa的方向与的方向相同；当λ0时，λa的方向与的方向相反. 14.实数与向量的积满足运算律：设λ，μ为实数那么：①λ(μa)=(λμ)a；②(λ+μ)a=λa+μa；③λ(a+b)=λa+λb. 15.已知向量a（a≠0），b，则：a∥b存在λ∈R，使a =λb（其中：λ0时，a，b 方向相同；λ0时，a，b 方向相反）. 三、课前热身： 1．下面说法中正确的个数是 （ A ） ①温度是向量 ②零向量是没有方向的 ③作用力与反作用力是一对大小相同、方向相反的量 ④单位向量都相等 1 2 3 0 提示：只有③正确. 故选A. 2．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是 （ C ） = += -= += 0 提示：应-=，-=是方向写反. 故选C. 3．下列等式中不正确的是 （ C ） a +0 = a a +b = b +a +≠0 =++ 提示：与是大小相同，方向相反的向量，所以+=0. 故选C. 4.化简：(-)-(-) = 0 . 提示：(-)-(-) =+++=0. 5. 已知向量e1，e2是非零向量，且a =e1+2e2，b =2e1+4e2，则a，b的关系是 （ D ） |a|=|b| a = b 垂直 共线 提示：因为b = 2e1+4e2 =2(e1+2e2) = 2a，所以a，b共线. 故选D. 四、例题分析： 例1． 设a，b，c为三个非零向量，若p=++，则| p |的取值范围是（ ） （A） [0，2] （B） ｛0，1，2，3｝ （C） [0，3] （D） ｛0，3｝ 分析：显然，，都是单位向量，当三个单位向量首尾相接形成闭合环路时，向量p的长度为0，当三个单位向量首尾相接且同方向时，向量p的长度为3；其余情况0|p|3. 故选C. 点评：本题中涉及向量的单位化、单位向量的方向、向量的加法的几何意义等方法与概念，只有这些方法与概念清楚了，才可以对问题的解法及考查的目的有清晰的认识. 例2．（2007北京4）已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么 （