第十三章多元函数的极值与连续.docVIP

CH 13 多元函数的极值与连续 平面点集 邻域：，称为点的邻域，记作。 点列的极限：设是轴上的一点列，是轴上的一个点列，则以为坐标的点组成平面上的一个点列，记作，又设是平面上的一点，其坐标为，若对的任何一个邻域，总存在正整数，当时，有，就称点列收敛，并且收敛于，记作或则记为，（）即，（）。 上面点列极限的定义也可用不等式叙述：若对，总存在，当时，有就称收敛于。 点列极限的性质： 性质1：的充分必要条件是，，（） 性质2：若收敛，则它只有一个极限，即极限是唯一的。 内点：设，如果存在的一个邻域，使得，则是的内点。 外点：设，如果存在的一个邻域，使得中没有的点，就称是的外点。 边界点：设是平面上的一点，它可以属于，也可以不属于，如果对的任何邻域，其中既含有的点，又含有非中的点，就称为的边界点，的边界点的全体叫做的边界。 开集：如果的点都是的内点，就称是开集。 聚点：设是平面上的一点，它可以属于，也可以不属于，如果对的任何一个邻域，在这一邻域内至少含有的一个（不等于）点，就称是的聚点。 闭集：若的所有聚点都在内就称是闭集。 区域：设是一个开集，并且中任何两点和之间都可以用有限条属于的直线段所组成的折线结起来，称是区域。 闭区域：一个区域加上它的边界就是一个闭区域。 平面点集的几个基本定理： 矩形套定理：设是矩形，所组成的矩形序列，其中每一个矩形都含在前一个矩形中，并且，那么有唯一的一点，它位于每一个矩形中，亦即： 致密性原理（Weierstrass定理）：如果列有界（即存在常数，使得 ），那么从其中必能选取收敛的子列。 有限覆盖定理：若一开矩形集合覆盖有限闭区域，那么从里，必可选出有限个开矩形，它们也能覆盖这个区域。 收敛原理：平面点列有极限的充分必要条件是：对任意给定的，总存在，当时，有。 多元函数的概念 二元函数的定义：设是平面点集，是一个规律。如果对中的每一点，通过规律在中存在唯一一个实数和点相对应，就称是定义在上的一个二元函数，它在的函数值是，并记此值为。即。与一元函数相仿。常采用下面的记号记这个函数： 并称是的定义域，通常为省略，也称是一个二元函数。 二元函数的极限 二元函数的极限的定义：设二元函数在点附近有定义。（而在点是否有定义无关紧要）如果对，总存在，当时恒有，就称是二元函数在点的极限。记为： 或，（） 上述定义可用点的坐标描述，即：如果对，总存在，当时，恒有。就称是二元函数在点的极限。 上述定义也可用邻域来表达，若对的任何邻域，总存在点的邻域，当时，恒有，就称是二元函数在点的极限。 上述定义也可叙述为：若，总存在，使得当，且不与重合，亦即时，恒有： ，就称是二元函数在点的极限。 上述的极限通常也称为二重极限。而诸如若存在或存在的极限称为二次极限或累次极限。 二元函数的连续性及性质 二元函数连续的定义：若在有定义，且满足，则称在点连续。 关于极限的性质和运算法则，以及连续函数的运算法则，与一元函数的情况是完全相似的。 若对某一区域（或开或闭）上的任意一点，当取此区域上任意的点列趋于时，的极限恒为，那么称在此区域上连续。 有界闭区域上连续函数的性质： 性质1：有界性定理：若在有界闭区域上连续，则它在上有界；亦即存在正数，使得在上恒有。 性质2 ：一致连续性定理：若在有界闭区域上连续，则它在上一致连续；亦即对，总存在，使得上任意两点，，当，时恒有： 。 性质3：最大值最小值定理：若在有界闭区域上连续，则它在上必有最大值和最小值。 性质4：零点存在定理：若在区域（不一定有界闭区域）内连续，并且在内两点，异号。即，那么用完全位于内的任意折线连接和时，在上必有一点，满足。 二重极限与二次极限的关系 两个二次极限都不存在，而二重极限仍可能存在。 两个二次极限存在而不相等，二重极限必不存在。 两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在。 例：证明有界闭区域上二元连续函数的有界性定理，最大（小）值定理及一致连续性定理。 有界闭区域上的二元连续函数必有界； 最大（小）值定理； 一致连续性定理。 证：（1）用反证法，设在有界闭区域上连续，但无界。 ，有，由致密性定理序列必有界，从其中必能选出收敛的子列，有，由于为有界闭区域，故。故在点连续，。但在构造时已设，故发散到无穷大。这与收敛矛盾。 （2）因在上有界，故设，可证必有一点，有（同理可证）。如若不然，均有。 考察上的正值连续函数，由前面知在上有界，又因不能在上达到上确界，故存在收敛的点列，使。于是，这与在上有界矛盾，故在上能取得最大值。 （3）（用反证法）设在有界闭区域上连续，但非一致连续。则，如有相应的但成立。由于为有界闭区域，故存在收敛的点列并设。再在中取出与具有相同足标的点列，由，从而有