多元回归分析应注的两个问题.doc

体育科研中运用多元回归分析时应注意的两个问题 回归分析是研究变量之间的相关关系的一种数理统计方法。在体育领域中存在着大量多因素（变量）的问题。所以，近年来体育科研中多元回归和逐步回归分析方法运用得越来越多了。 回归分析主要可用于解决下列问题： （一）确定几个变量之间是否存在相关关系。如果存在，则找出它们之间合适的数学表达式──回归方程。如在体质研究、运动员选材研究中为了研究各项形态、机能、素质指标之间的相关关系，常常通过大样本统计数据计算各指标之间的相关系数ｒij，并建立各指标 之间的回归方程。如1979年全国体质调研后建立了18～25岁男青年的身高、体重对肺活量的二元回归方程： Ｙ＝－2708＋27.89Ｘ1＋35.56Ｘ2 （肺活量） （身高） （体重） （二）根据回归方程用一个或几个自变量的值预测或控制另一个因变量的取值。对于一些不容易测的指标，可以通过建立回归方程用几个比较容易测的指标来推测它的估计值。如果自变量选得恰当，这样的回归方程是很有实用价值的。如北京体院高强等人研究建立了推测快肌纤维百分比的三元回归方程： Ｙ＝5.90＋35.53 Ｘ1＋18.2 Ｘ2一6.41 Ｘ3 （快肌％） （相对肌力） （MPE ％） （IEMG） 只要进行肌肉力量和肌电图的几项测试，就可以实现肌纤维成分的无损伤测定。 （三）进行因素分析。当许多个变量（因素）都对某一个变量有影响时，可以通过回归分析找出其中哪几个是重要因素，哪几个是次要因素。如对田径十项全能世界级优秀运动员的十项全能总分和十个单项成绩进行逐步回归计算，从中可筛选出四个比较重要的项自是：400米、铅球、110米栏、跳高。有的研究还根据多元回归方程的系数ｂi。或标准回归系数ｂi’ 来确定各指标的“权重”。 但是，近来在运用多元回归和逐步回归的研究论文中也出现了一些对回归分析的运用条件注意不够的问题。 一、样本含量ｎ和自变量个数k之间的关系问题 复相关系数Ｒ是检验多元回归方程效果的重要指标。一般讲，Ｒ越接近１即表示回归方程的效果越好。因此当计算的结果Ｒ值接近ｌ时，有些作者就立即认定计算结果十分理想。如“广东省少体校游泳运动员因素分析与运动模型，’（1983年全国体育统计报告会论文）一文中，男15～16岁组自由泳成绩与形态机能指标的十元回归方程Ｒ＝0.999，十三元回归方程Ｒ＝１。又如“对男女优秀篮球运动员五大关节活动幅度与运动成绩逐步回归的探讨”（体育科学86年１期）一文中，辽宁男篮队员运动成绩与四项关节活动幅度建立的四元回归方程Ｒ＝0.995，辽宁女篮队员运动成绩与七项关节活动幅度建立的七元回归方程Ｒ＝１。作者都认为回归方程十分理想，并根据回归方程作了进一步的分析和结论。但是，再看回归方程中各个指标与因变量（Ｙ）的相关系数则发现有许多指标和Ｙ是不相关的（p0.05）。可见，Ｒ接近１的原因并不是这些指标和Ｙ相关程度极高，而是作者用于计算的样本n太小（游泳一文ｎ＝15，篮球一文ｎ＝10）。 在《体育统计方法》及一些数理统计书中，都指出：复相关系数R与多元回归方程中自变量的个数k及样本含量n有关。当n相对于k并不很大时，常有较大的R，当n=k+1时，即使这k个自变量与Y并不相关，也会R＝1。 如设变量Y与另外K个变量 Ｘ1, Ｘ2……Ｘk的内在联系是线性的，它的第α次测试数据是： （Ｙa,Ｘa1,Ｘa2……，Ｘak） a＝1,2,…,n 则这一组数据可以有如下的结构式： Ｙ1＝β0＋β1Ｘ11＋β2Ｘ12＋……＋βkＸ1k＋ξ1 Ｙ2＝β0＋β1Ｘ21＋β2Ｘ22＋……＋βkＸ2k＋ξ2 …… Ｙn＝β0＋β1Ｘn1＋β2Ｘn2＋……＋βkＸnk＋ξn 其中：β0,β1……是K+ 1个待估计参数，Ｘ1，Ｘ2，……，Ｘk是K个可以精确测得的变量，ξ1，ξ2,……ξn是n个相互独立且服从正态分布N（θ，δ）的随机变量，这就是多元回归的数学模型。把它写成矩阵形式： Ｙ＝Ｘβ＋ξ 用最小二乘法原理，建立正规方程，可解出bo，bl……，bk。它们是参数β0,β1……βk的最小二乘估计，则多元回归方程为： Ｙ＝bo＋b1Ｘ1＋b2Ｘ2＋……＋bkＸk 计算bo, b1, b2,……，bk时要计算下列四个矩阵：X,A,C,B 其中：X是 n组侧试数据Ya的结构矩阵，A＝XX 是正规方程组的系数L ij矩阵， C＝A-1 是系数矩阵A的逆矩阵， B是正规方程组的常数项Liy矩阵。 多元回归的系数b=A-1 B．可见，多元回归方程的