电磁场与电磁波 第4版 谢处方 编 课后习题答案 高等教育出版社 四章习题解答.doc

四章习题解答 4.1 如题4.1图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为，求槽内的电位函数。 解 根据题意，电位满足的边界条件为 ① ② ③ 根据条件①和②，电位的通解应取为 由条件③，有 两边同乘以，并从0到对积分，得到 故得到槽内的电位分布 4.2 两平行无限大导体平面，距离为，其间有一极薄的导体片由到。上板和薄片保持电位，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从到，电位线性变化，。 解 应用叠加原理，设板间的电位为 其中，为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为）的电位，即；是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为： ① ② ③ 根据条件①和②，可设的通解为 由条件③有 两边同乘以，并从0到对积分，得到 故得到 4.3 求在上题的解中，除开一项外，其他所有项对电场总储能的贡献。并按定出边缘电容。 解 在导体板（）上，相应于的电荷面密度 则导体板上（沿方向单位长）相应的总电荷 相应的电场储能为 其边缘电容为 4.4 如题4.4图所示的导体槽，底面保持电位，其余两面电位为零，求槽内的电位的解。 解 根据题意，电位满足的边界条件为 ① ② ③ 根据条件①和②，电位的通解应取为 由条件③，有 两边同乘以，并从0到对积分，得到 故得到槽内的电位分布为 4.5 一长、宽、高分别为、、的长方体表面保持零电位，体积内填充密度为 的电荷。求体积内的电位。 解 在体积内，电位满足泊松方程 （1） 长方体表面上，电位满足边界条件。由此设电位的通解为 代入泊松方程（1），可得 由此可得 或 （2） 由式（2），可得 故 4.6 如题4.6图所示的一对无限大接地平行导体板，板间有一与轴平行的线电荷，其位置为。求板间的电位函数。 解 由于在处有一与轴平行的线电荷，以为界将场空间分割为和两个区域，则这两个区域中的电位和都满足拉普拉斯方程。而在的分界面上，可利用函数将线电荷表示成电荷面密度。 电位的边界条件为 ① ② ③ 由条件①和②，可设电位函数的通解为 由条件③，有 （1） （2） 由式（1），可得 （3） 将式（2）两边同乘以，并从到对积分，有 （4） 由式（3）和（4）解得 故 4.7 如题4.7图所示的矩形导体槽的电位为零，槽中有一与槽平行的线电荷。求槽内的电位函数。 解 由于在处有一与轴平行的线电荷，以为界将场空间分割为和两个区域，则这两个区域中的电位和都满足拉普拉斯方程。而在的分界面上，可利用函数将线电荷表示成电荷面密度，电位的边界条件为 ① ， ② ③ 由条件①和②，可设电位函数的通解为 由条件③，有 （1） （2） 由式（1），可得 （3） 将式（2）两边同乘以，并从到对积分，有 （4） 由式（3）和（4）解得 故 若以为界将场空间分割为和两个区域，则可类似地得到 4.8 如题4.8图所示，在均匀电场中垂直于电场方向放置一根无限长导体圆柱，圆柱的半径为。求导体圆柱外的电位和电场以及导体表面的感应电荷密度。 解 在外电场作用下，导体表面产生感应电荷，圆柱外的电位是外电场的电位与感应电荷的电位的叠加。由于导体圆柱为无限长，所以电位与变量无关。在圆柱面坐标系中，外电场的电位为（常数的值由参考点确定），而感应电荷的电位应与一样按变化，而且在无限远处为0。由于导体是等位体，所以满足的边界条件为 ① ② 由此可设 由条件①，有 于是得到 故圆柱外的电位为 若选择导体圆柱表面为电位参考点，即，则。 导体圆柱外的电场则为 导体圆柱表面的电荷面密度为 4.9 在介电常数为的无限大的介质中，沿轴方向开一个半径为的圆柱形空腔。沿轴方向外加一均匀电场，求空腔内和空腔外的电位函数。