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经济数学基础讲 第3章 导数应用
第3章 导数应用
3.1 函数的单调性3章导数应用.在上一章的总结中指出,导数是特别重要的,不仅在本课程中有很多应用,而且在将来的工作中也有很多应用.
这一章中,主要讲导数在两方面的应用:
1.导数在研究函数时的应用
??2.导数在经济中的一些应用
股市及股市曲线
在生活中,随着经济的发展,同学们或多或少都会接触股市.在股市上,人们特别关注股市曲线,关心在哪一段时间股市在上升,哪一段时间股市会下降;或者在哪一个时间达到峰值,哪一个时间达到低谷,低谷的值是多少?
生产场景及生产曲线
在工业管理中,关心投入与产量之间的关系,产量随投入变化的情况,何时达到最高.
在下两节中就是要讨论这个问题.
单调性判别
下面首先讨论3.1 函数的单调性.????????
什么叫函数的单调性?1.1节中定义函数的单调性为:一个函数在一个区间之间随着自变量的增加,函数值也在增加,叫做单调增加的;如果随着自变量的增加,函数值却在减少,叫做单调减少的.从函数本身或图形,都能判断函数的单调性,但有时还需要用导数工具判别单调性.
y = x2,它的图形是抛物线.
在x 0 处,函数单调上升;在x 0 处,函数单调下降.
当在 x 0 这一边的每一点处都有切线时,切线的特征是:切线与x 轴正向的夹角一定小于90?.
当在 x 0 这一边的每一点处都有切线时,切线的特征是:切线与x 轴正向的夹角一定大于90?.
定理y = f (x)在区间[a, b]上连续,在区间(a, b)内可导.
?? (1) 如果x(a, b)时,(x) 0,则f (x)在[a, b]上单调增加
?? (2) 如果x(a, b)时,(x) 0,则f (x)在[a, b]上单调减少
意义:利用导数的符号判别函数的单调性.
说明:
闭区间[a, b]换成其它区间,如(a, b),(-,b],(a, +)
使定理结论成立的区间,称为y = f (x)的单调区间定理3.1y = f (x)在区间[a, b]上连续,在区间(a, b)内可导.
(1) x(a, b)时,(x) () 0,则f (x)在[a, b]上单调增加(不减)
(2) 如果x(a, b)时,(x) () 0,则f (x)在[a, b]上单调减少(不增)
单调增加是自变量变大,函数值也变大;而单调不减是自变量变大,函数值不变小,即函数值也变大或函数值保持相等.所以,单调增加与单调不减是有一些差别的.
修改后的定理3.1如下:
定理3.1y = f (x)在区间[a, b]上连续,在区间(a, b)内可导.
(1) 如果x(a, b)时,(x) ?0,则f (x)在[a, b]上单调不减
(2) 如果x(a, b)时,(x) ?0,则f (x)在[a, b]上单调不增
由此我们可以说第二位同学的回答是正确的,下面给出证明.?
结论:若,,则.
证:既单调不增又单调不减
例1 判别y = x3 +1的单调性.
[分析]函数的单调性可以用函数单调性定义或函数图形来判断,在学了定理3.1后,就可以用导数来判断.
解: ?定义域为(-,+)
(x) = 3x2 0,x(,+),且x0y在(-,+)上单调增加.
从图形上可以看出,这个函数的确在整个定义域上是单调增加的.
例2 求y = 2x3 - 9 x2 + 12 x- 6的单调区间.
[分析]首先求出定义域,再利用定理3. 1(利用导数作为工具)判断该函数在哪个范围内单调增加,哪个范围内单调减少,即判断在哪个范围内导数大于0,在哪个范围内导数小于0.因此,要求出使导数等于0的点(分界点),再作判断.
解: ?定义域为(-,+),?= 6x2 - 18 x + 12; x2 3 x + 2 = 0
(x – 1)( x – 2) = 0; x1 = 1, x2 = 2
(-,1],[2,+)[1,2]
在右图形中x1 = 1, x2 = 2是分界点,在区间(-,1]内,+)内,函数是单调增加的.
例3?求的单调区间.
解: ?定义域为(-,-1),(-1,+),
?单调增加区间为(-,-1),(-1,+)
从图形中看出,该函数确实在整个定义域内是单调增加的.
归纳:求函数单调区间的步骤:
①确定的定义域;
(x) = 0和(x)不存在的点,并组成若干子区间;
③确定(x)在每个子区间内的符号,求出 f (x) 的单调区间.
例4 当x 0时,试证ln(1+ x) x - x2.??
[分析]先建立一个函数F(x),将问题转化为函数单调性讨论的问题;再利用导数判断 F(x)的单调增加性,得到要证明的结论.
证:F(x) = ln(1+ x) –( x - x2 )
??F(x) 单调增加.
又F(0) = 0,故当x
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