经济数学基础讲 第3章 导数应用.doc

第3章 导数应用 3.1 函数的单调性3章导数应用．在上一章的总结中指出，导数是特别重要的，不仅在本课程中有很多应用，而且在将来的工作中也有很多应用． 这一章中，主要讲导数在两方面的应用： 1．导数在研究函数时的应用 ??2．导数在经济中的一些应用 股市及股市曲线 在生活中，随着经济的发展，同学们或多或少都会接触股市．在股市上，人们特别关注股市曲线，关心在哪一段时间股市在上升，哪一段时间股市会下降；或者在哪一个时间达到峰值，哪一个时间达到低谷，低谷的值是多少？ 生产场景及生产曲线 在工业管理中，关心投入与产量之间的关系，产量随投入变化的情况，何时达到最高． 在下两节中就是要讨论这个问题． 单调性判别 下面首先讨论3.1 函数的单调性．???????? 什么叫函数的单调性？1.1节中定义函数的单调性为：一个函数在一个区间之间随着自变量的增加，函数值也在增加，叫做单调增加的；如果随着自变量的增加，函数值却在减少，叫做单调减少的．从函数本身或图形，都能判断函数的单调性，但有时还需要用导数工具判别单调性． y = x2，它的图形是抛物线． 在x 0 处，函数单调上升；在x 0 处，函数单调下降． 当在 x 0 这一边的每一点处都有切线时，切线的特征是：切线与x 轴正向的夹角一定小于90?． 当在 x 0 这一边的每一点处都有切线时，切线的特征是：切线与x 轴正向的夹角一定大于90?． 定理y = f (x)在区间[a, b]上连续，在区间(a, b)内可导. ?? (1) 如果x(a, b)时，(x) 0，则f (x)在[a, b]上单调增加 ?? (2) 如果x(a, b)时，(x) 0，则f (x)在[a, b]上单调减少 意义：利用导数的符号判别函数的单调性． 说明： 闭区间[a, b]换成其它区间，如(a, b)，(-,b]，(a, +) 使定理结论成立的区间，称为y = f (x)的单调区间定理3.1y = f (x)在区间[a, b]上连续，在区间(a, b)内可导． 　 (1) x(a, b)时，(x) () 0，则f (x)在[a, b]上单调增加(不减) (2) 如果x(a, b)时，(x) () 0，则f (x)在[a, b]上单调减少(不增) 单调增加是自变量变大，函数值也变大；而单调不减是自变量变大，函数值不变小，即函数值也变大或函数值保持相等．所以，单调增加与单调不减是有一些差别的． 修改后的定理3.1如下： 定理3.1y = f (x)在区间[a, b]上连续，在区间(a, b)内可导. (1) 如果x(a, b)时，(x) ?0，则f (x)在[a, b]上单调不减 (2) 如果x(a, b)时，(x) ?0，则f (x)在[a, b]上单调不增 由此我们可以说第二位同学的回答是正确的，下面给出证明．? 结论：若，，则． 证：既单调不增又单调不减 例1 判别y = x3 +1的单调性． [分析]函数的单调性可以用函数单调性定义或函数图形来判断，在学了定理3.1后，就可以用导数来判断． 解： ?定义域为(-,+) (x) = 3x2 0，x(,+)，且x0y在(-,+)上单调增加． 从图形上可以看出，这个函数的确在整个定义域上是单调增加的． 例2 求y = 2x3 - 9 x2 + 12 x- 6的单调区间. [分析]首先求出定义域，再利用定理3. 1（利用导数作为工具）判断该函数在哪个范围内单调增加，哪个范围内单调减少，即判断在哪个范围内导数大于0，在哪个范围内导数小于0．因此，要求出使导数等于0的点（分界点），再作判断． 解： ?定义域为(-,+),?= 6x2 - 18 x + 12； x2 3 x + 2 = 0 (x – 1)( x – 2) = 0； x1 = 1, x2 = 2 (-,1]，[2，+)[1，2] 在右图形中x1 = 1, x2 = 2是分界点，在区间(-,1]内，+)内，函数是单调增加的． 例3?求的单调区间. 解： ?定义域为(-,-1)，(-1，+), ?单调增加区间为(-,-1)，(-1，+) 从图形中看出，该函数确实在整个定义域内是单调增加的． 归纳：求函数单调区间的步骤： ①确定的定义域； (x) = 0和(x)不存在的点，并组成若干子区间； ③确定(x)在每个子区间内的符号，求出 f (x) 的单调区间． 例4 当x 0时，试证ln(1+ x) x - x2.?? [分析]先建立一个函数F(x)，将问题转化为函数单调性讨论的问题；再利用导数判断 F(x)的单调增加性，得到要证明的结论． 证：F(x) = ln(1+ x) –( x - x2 ) ??F(x) 单调增加． 又F(0) = 0，故当x