初三数学__直三角形三角函数.docVIP

一、一周知识概述 1、解直角三角形常用方法： （1）勾股定理：c2=a2＋b2 （2）三个锐角三角函数： （3）三个三角函数之间的关系： ①互余关系sinA=cos(90°－A)、cosA=sin(90°－A) ②平方关系： ③商数关系： 2、注意两个转化 （1）把实际问题转化为数学问题：将实际问题图形转化为平面几何图形，依题意，画出图形. （2）若三角形不是直角三角形，应添加适当的辅助线，将原图形分割成几个直角三角形，找出边、角之间关系，求出所需要的量. 3、特殊角0°，30°，45°，60°，90°的三角函数值要在理解基础上记住. 0° 30° 45° 60° 90° ? sinα 0 1 ? cosα 1 0 ? tanα 0 1 不存在 4、三个三角函数值随角的增加，函数值的变化特征： 　　当0°≤α≤90°时，正弦与正切的函数值随角的增大而增大，但tan90°的值不存在，而余弦的函数值是随角的增大而减小. 5、理解仰角、俯角、坡角、坡度等概念 　　有时为了测出江河、水库、筑路等的坡面AB与地面BC的倾斜程度，有时用坡角α的大小来反映。当α（0°≤α≤90°）较大时，则倾斜程度就较徒，有时把坡面AB的铅垂高度h和水平宽度的比叫做坡度，用字母i表示. 二、重难点知识概述 1、重点 （1）锐角α的sinα,cosα,tanα的特殊角及对应的特殊值. （2）0°、90°的特殊情况：sin0°=0，cos0°=1，tan0°=0，sin90°=1，cos90°=0，tan90°不存在. （3）已知锐角α，则可求出sinα,cosα,tanα的值，当α是0°～90°中一般角时，可用科学计算器求出，反过来，若已知某三角函数值时，也可求出0°~90°间的角. （4）利用直角三角形中的边角关系，解决实际问题. 2、难点 　　将一般三角形中所要求的值，转化为直角形求其值，即辅助线要恰当地作出。一般来说，辅助线不要破坏所给的特殊角. 一、知识概述 1、从实际问题出发——梯子靠在墙上，有的较陡，有的较缓，用什么值反映出来？通过学习发现：把这一问题　 转化为在直角三角形中，某锐角的对边与邻边的比.所以规定 　　　显然，梯子的倾斜程度与tanA的值的大小有关，当0°A°90°，若∠A逐渐增大，则tanA的值逐渐增大　　　 ，梯子越陡. 2、相应地规定正弦： 3、关于30°，45°，60°的正弦，余弦、正切值，可由直角三角形来确定，与直角三角形大小无关，而与两锐 　角大小有关. 　　　　 当∠A=30°时　　　　　　　当∠A=45°时　　　　　　当∠A=60°时 　　　　　　　　　　　　　 将它们的特殊值列表如下： 三角函数角α的度数 sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 4、为方便学习，应了解一下在直角三角形中，把∠A的邻边与∠A的对边之比起名为余切，即　　 5、在Rt△ABC中，由锐角A（0°A90°）的特点，可得到0sinA1, 0cosA1，由定义：　 可得出即sin2A＋cos2A=1. 6、除特殊角30°，45°，60°的三角函数值外，还有0°，90°的极端情况规定：　 　　（b≠0），而sin90°=1, cos90°=0, tan90°不存在. 二、本周重难点 1、重点：特殊角30°，45°，60°的正弦值，余弦值及正切值，且能根据特殊角的三角函数值，仅求锐角的大　 小. 2、难点：如何将一般三角形，通过作辅助线转化为直角三角形去解决某些问题. 三、重难点知识讲解 　　例1、若关于x的一元二次方程x2＋ax＋b=0的两根是一直角三角形两锐角的正弦值，且a＋5b=1，求a,b的值. 　　分析：此题要用到两个方面的知识.一是一元二次方程根与系数的关系，二是利用在Rt△中，当∠C=90°时，有∠A＋∠B=90°，∴∠B=90°－∠A，则sinB=sin(90°－A)=cosA的关系，建立a,b的方程组求解. 　　解：设直角三角形ABC中，∠C=90°，依题意：sinA＋sinB=－a　（1）， 　　sinA·sinB=b，又∵∠A＋∠B=90°，∴∠B=90°－∠A． 　　∴sinB=sin(90°－A)=cosA则将（1），（2）式化为： 　　sinA＋cosA=－a （3）sinA·cosA=b（4） 　　　(3)2－（4）×2，得 　　sin2A＋cos2A+2 sinA·cosA－2 sinA·cosA= a2－2b， 　　由sin2A＋cos2A=1 ，∴a2－2b=1 （5）， 　　又由条件可知a＋5b=1 （6）， 　　解（5）（6）组成的方程组，消去a得 　　∴ 　　综上所得 例2、为了农田灌溉的需要，某乡利用土堤