D8_3复合求导.ppt

二 隐函数微分法 隐函数求导的另一方法——方程两边求导 备用题 2. 设 解法2 微分法. 备用题二 2. * 一元复合函数 求导法则 本节内容: 一、复合函数链式微分法 及全微分形式不变性 微分法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三节 多元函数微分法 二、隐函数微分法 1、多元复合函数求导的链式法则 定理1 若函数 u??(t), v??(t))在 t 处可导, z?f(u,v) 在(u,v)处偏导连续, 则z?f(?(t),?(t))在点 t 可导, 且 (链式法则) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 推广：中间变量是多元函数的情形 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 而 可见x同时是直接变量和间接变量时 与 不同。 注意点：自变量既是直接变量也是间接变量时 符号的理解和使用。 如 则 设 x=3t, y=4t3, 求 练习(p. 97, ex.1(4), 1(7) x=g(t), y= h(t), f , g, h 均 可微，求 1(4) 1(7) 解：1(4) x ?g(t), y ? h(t), f , g, h 均 可微，求 1(7) 解：1(7) w x y x 其中? 具有二阶导数， 求 解：令 u?y/x, v ?2x?y, 则z ?y?(u)+lnv, 所以 例6 设 例7 设 z=f (x+y, xy2), 其中f 具有二阶连续偏导数， 求 解： 则z ? f(u, v), 所以 v x y x f u , fu, fv (二阶偏导连续) 令 u?x+y, v?xy2, 2、微分形式不变性 可微，且其全微分 无论 u, v 是自变量还是中间变量,全微分形式不变性。 则 设函数 都可微, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 8 利用微分形式不变性计算全导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第八章 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 方程何时确定隐函数及隐函数如何求导 2 方程组何时确定隐函数及隐函数如何求导 如: F(x, y)?0在点P0 (x0, y0)附近能否确定一个函数y? f(x), 如何计算f′(x)? 1、一个方程所确定的隐函数及其导数 则方程F(x, y) ? 0在 x0的某邻域内可唯一确定一个单值连续函数 y ? f (x) , 满足条件y0 ? f (x0), 并有连续导数及 (隐函数求导公式) 定理2 设 ① 具有连续的偏导数; 在点 的某一邻域内满足 ② ③ 机动 目录 上页 下页 返回 结束 两边对 x 求导 在(x0, y0)的某邻域内 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例9* 验证方程 在点(0, 0)某邻域 可确定一个单值可导隐函数 解: 令 连续 , 由隐函数存在定理知, 确定可导的隐函数 则 在 x ? 0 的邻域内方程可 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束 并求 式(1)两边对 x 求导, 得 式(2) 再对 x 求导, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) (1) 将x ? 0 代入 从得 得y? 0， 进而得 两边对 x 求偏导得 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 z ?f(x, y)是由方程 F(x, y, z)?0在点P(x0, y0, z0) 附近确定的隐函数， 问题：考察方程 F(x, y, z)?0确定隐函数 z ?z(x, y) 推论1 的某邻域内具有连续偏导数 , 则方程 在点 并有连续偏导数 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足 ① 在点 若函数 满足: ② ③ 某一邻域内可唯一确 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例10* 设 思考题 设F( x , y)有连续偏导数, 已知方程 例10* 设 解法 利用隐函数求导法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 再对 x 求导 即 对方程两边求微分: 解：利用微分形式不变性。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考题 设F( x , y) 有连续偏导数, 已知方程 2、方程组所确定的隐函数组及其导数 隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形. 由 F、G 的偏导数组成的行列式 称为F、G 的关于u, v的雅可比( Jacobi )行列式. 以两个方程确定两个隐函数为例 , 即 雅可比 目录 上页 下页 返回 结束 推论2