33二维随机变量函数的分布.ppt

第三章 多维随机变量及其分布 3.2二维随机变量函数的分布 * 一、离散型随机向量的函数的分布 若X、Y独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2,…, P(Y=k)=bk , k=0,1,2,… , 求Z=X+Y的概率函数. =a0br+a1br-1+…+arb0 由独立性 此即离散 卷积公式 r=0,1,2, … 和的分布：Z = X + Y 例1 设随机向量 函数 的分布： 解 由 的概率分布可得 的概率分布如右表： 求随机向量 的 与一维离散型随机变量函数的分布的求法相同 , 把 值相同项对应的概率值合并可得： 的概率分布为 的概率分布为 解：依题意 例2 若X和Y相互独立,它们分别服从参数为 的泊松分布, 证明Z=X+Y服从参数为 的泊松分布. 由卷积公式 i=0,1,2,… j=0,1,2,… 由卷积公式 即Z服从参数为 的泊松分布. r=0,1，… 例3 设X和Y相互独立，X~B(n1,p),Y~B(n2,p), 求Z=X+Y 的分布. 回忆第二章对服从二项分布的随机变量所作的直观解释: 我们给出不需要计算的另一种证法: 同样，Y是在n2次独立重复试验中事件A出现 的次数,每次试验中A出现的概率为p. 若X~ B(n1,p),则X 是在n1次独立重复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率都为p. 故Z=X+Y 是在n1+n2次独立重复试验中事件A出现的次数，每次试验中A出现的概率为p,于是Z是以（n1+n2，p）为参数的二项随机变量 即: 若X与Y相互独立，X～B(n1,p)，Ｙ～B(n２,p)， 则　X+Y～B(n1+n2,p) 二项分布的可加性 类似已知:若X,Y相互独立,X~P(λ1),Y~P(λ2), 则 X+Y~P(λ1+λ2) Possion分布的可加性 二、连续型随机向量的函数的分布 例4 独立, 且同服从[0,1]上的均匀 分布, 试求 的分布函数与密度函数. 解 先求 的分布函数 设随机变量 与 相互 于是 的概率密度为 设X和Y的联合密度为 f (x,y),求Z=X+Y的密度 Z=X+Y的分布函数是: FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y ≤ z) 这里积分区域D={(x, y): x+y ≤z} 是直线x+y =z 左下方的半平面. 1. Z = X + Y的分布 化成累次积分,得 由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成 以上两式是两个随机变量和的概率密度的一般公式. 特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为: 这两个公式称为卷积公式 . 例6 设 和 是两个相互独立的随机变量, 它们都 服从 分布, 其概率密度为 求 的概率密度. 解 由卷积公式得 即 定理1 两个独立的正态分布的随机变量的和 仍服从正态分布. X1+X2~N(μ1+ μ2,σ12+ σ22) 正态分布的可加性 .即:若X1~N(μ1,σ12), X2~N(μ2,σ22), X1,X2独立,则 例7 设某种商品一周的需求量是一个随机变量, 其概 率密度函数为 如果各周的需求量相互独立, 求两周需求量的概率密 度函数. 解 分别用 和 表示第一、二周的需求量, 则 从而两周需求量 利用卷积公式计算. 当 时, 若 则 若 则 从而 当 时, 若 则 若 即 则 故 从而 故 从而 2. M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布 求M=max(X,Y) 及N=min(X,Y)的分布函数. 设X，Y是两个相互独立的随机变量， 它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y), M=max(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z， 故有 P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z) 又由于X和Y 相互独立, 于是得到M=max(X,Y)的分布函数为: FM(z)=P(M≤z) =P(X≤z)P(Y≤z) =P(X≤z,Y≤z) 即有 FM(z)= FX(z)FY(z)