2013电磁场与电磁波ch1.ppt

1.3 标量场的梯度 斯托克斯定理的证明 矢量对闭合回路的线积分等于该回路所张成的任意表面对该矢量旋度的面积分。 任意矢量旋度的散度恒为零 梯度的旋度恒为零 1.6 无旋场与无散场 1.7 拉普拉斯运算与格林定理 1.4 矢量场的通量 散度 一、矢量线（力线） 矢量场：设空间某一矢量函数，它的大小及方向随 空间位置变化，则称该区域存在一矢量场A 例如：速度场，电场，磁场 在河里水流的速度、大小、方向不一样，为形象的描述 矢量场，通常在矢量场中作一些曲线，使曲线上每一点的切 线方向与相应的场矢量方向一致。该点附近曲线的疏密和该 点矢量的大小成正比，这样的曲线族称为矢量的场“力线”和 “场线”。 我们通过“力线”形象的描述和分析矢量场的分布和性质。 矢量线的疏密表征矢量场的大小； 矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向； a b 二、矢量场的通量 先介绍有向面元： 规定面元的正法线为： 有向面积元： 通量的定义： 矢量场分布所在的区域中任一点P, 在P附近取一 面元 ，其正法线方向为 。则矢量场 穿过 面元 的通量为 面积元矢量 P 通过闭合面S的通量的物理意义： a 若 ，闭合面内有产生矢量线的正源； b 若 ，闭合面内有吸收矢量线的负源； c 若 ，闭合面内无源。 矢量场的通量 若S 为闭合曲面 矢量 穿过有限大面积S 的通量为 在场空间 中任意点P 处作一个闭合曲面，所围的体积为 ，则定义场矢量 在P 点处的散度为： 三、矢量场的散度 1、散度的定义 2、散度的物理意义 1 矢量场的散度是一个标量； 2）矢量场的散度是矢量场穿过包围单位体积的闭合面的通量， 又称通量密度。 通量：是一个积分量，范围比较大，无法反映每一点的性质。 散度：是一个微分值，比较小，能够反映每一点的性质。 3、散度的计算 1 在直角坐标系下： 无源） 正源 负源 3 表征该点单位体积内源的强度。 讨论：在矢量场中， i）若 ，则该矢量场称为有源场，?为源密度； ii）若 处处成立，则该矢量场称为无源场。 哈密顿算符 2 在圆柱坐标系下： 3 在球面坐标系下： 四、散度定理（矢量场的高斯定理） 该公式表明了区域V 中场 与边界S上的场 之间的关系。 由散度的定义 每一小体积有： 该式只对微小体积成立。对于有限大体积V， 分为许多小体积 相加： S 1 S 2 例 已知电荷q所产生的电场强度为 求其在任何一点M处的散度 。 解： 可见，除点电荷q所在位置（r 0）外，电场的散度处处为零。 1.5 矢量场的环流 旋度 一、矢量的环流 环流的计算 环流的定义： 设有矢量场 ，沿场中任一闭合的有向路径l 的积分，叫作 沿曲线l的环流。即： 讨论：1）线元矢量 的定义； 3）环流意义：若矢量场环流为零，矢量场无涡漩流动；反之，则矢量场存在涡漩运动。 2 反映矢量场漩涡源分布情况。 例如：流速场 二、矢量的旋度 1. 环流面密度 在场矢量 空间中，围绕空间某点P取一面元?S，其边界曲线为l，面元法线方向为 ，当面元面积无限缩小时，可定义 在点P处的环量面密度 P 环流面密度的计算公式： 其中 为点P处 的方向余弦 该极限值为矢量场A在P点处沿方向的环流密度。 2. 矢量场的旋度 式中： 表示面元单位法线方向； 矢量A的旋度，记作： 矢量场的旋度是一个矢量： 大小：环量密度的最大值； 方向：最大环量密度的方向。 物理意义：旋涡源密度矢量。 由旋度的定义可知，沿任一方向l的环流密度等于矢量场 的旋度沿该方向的投影。（旋度在该方向的分量） 3. 旋度的物理意义 4. 旋度的计算 1）矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数； 2）矢量场在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度。 例 求矢量场 在点 处的旋度和沿矢径方向l的环流密度。 解： M处的矢径方向 矢量场A在M处沿矢径方向的环流密度 斯托克斯定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有广泛的应用。 曲面的剖分 方向相反大小相等结果抵消 从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即 三、斯托克斯定理 四、矢量场旋度的重要性质 矢量场的旋度 的散度恒为零 标量场的梯度 的旋度恒为零 由此可知：对于任何一个散度为零的矢量场B，必然可以表示为某个矢量场的旋度。即 ： 1. 矢量场的源 散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量 等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和， 源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量 场在该点的散度； 旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合