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第三节 柯西积分公式 一、问题的提出 二、柯西积分公式 三、典型例题 四、高阶导数 高阶导数典型例题 四、小结与思考 柯西资料 例8 解 例9 解 由柯西－古萨基本定理得 由柯西积分公式得 课堂练习 答案 例10 解 根据复合闭路定理和高阶导数公式, 例11 (Morera定理) 证 依题意可知 * 一、问题的提出 二、柯西积分公式 三、典型例题 五、小结与思考 四、高阶导数 根据闭路变形原理知, 该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变, 求这个值. 定理 证 上不等式表明, 只要 R 足够小, 左端积分的模就可以任意小, 根据闭路变形原理知, 左端积分的值与 R 无关, 所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能. [证毕] 柯西积分公式 柯西介绍 关于柯西积分公式的说明: (1) 把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示. (这是解析函数的又一特征) (2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积分表达式. (这是研究解析函数的有力工具) (3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值. 例1 解 由柯西积分公式 例2 解 由柯西积分公式 根据复合闭路定理, 回到前面我们讲过的例子： 基于化为部分分式 现在： 只将分母分解因式 根据复合闭路定理, 回到前面我们讲过的例子： 现在： 例3 解 由柯西积分公式 例４ 解 根据柯西积分公式知, 例5 解 例5 解 由闭路复合定理, 得 例5 解 例6 解 根据柯西积分公式知, 比较两式得 课堂练习 答案 问题: (1) 解析函数是否有高阶导数? (2) 若有高阶导数, 其定义和求法是否与实变函数相同? 回答: (1) 解析函数有各高阶导数. (2) 高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示, 这与实变函数完全不同. 解析函数高阶导数的定义是什么? 定理 证 根据导数的定义, 从柯西积分公式得 再利用以上方法求极限 至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数. 依次类推, 利用数学归纳法可证 [证毕] 高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分. 例7 解 根据复合闭路定理