第6章61二次型.ppt

四、小结 * 第六章 二次型 第一节 二次型及其标准性 作业：170页 2，3(1)， 交作业时间： 在解析几何中? 为了研究二次曲线 把方程化为标准形 的几何性质? 化为标准形的过程 把一个二次齐次多项式? 我们用坐标旋转变换 就是通过线性变换 变成一个只含有平方项的多项式? 为对称矩阵， 则 证明 称为 二次齐次函数 二次型 为 二次型 的矩阵 对角阵 对应的 二次型 只含有平方项 标准形 解 例１写出二次型的矩阵 例2 矩阵 对应的二次型 设有对称矩阵 和n 个变量 这是一个二次齐次函数， 称为二次型 对称矩阵的秩 对角阵对应的 称为二次型的秩? 二次型为标准形 如果有可逆矩阵 它是二次型 f 的标准形? ?(CY)T 对于二次型 使 则 令 这是一个可逆线性变换 A (CY) 设 为n 阶方阵, 若有可逆矩阵 则称矩阵 使 与 合同? 定义3 对矩阵 称矩阵 初等变换 记作 经过有限次 变成矩阵 A与B等价， 合同 等价 设 为n 阶方阵, 若有可逆矩阵P? 则称矩阵 使 与 相似? 相似 等价 147页定理6 任何实对称阵 一定有正交阵 定理 1 对应的特征向量分别为 第二节 化二次型为标准形 任何二次型 化为标准形 其中 一定有正交变换 对称矩阵A 的特征值 使 是 170页3（2） 化下列二次型 求一个正交变换 解 第2行 第3行 第4行 加到第1行 特征值为 特征向量 正交阵 有正交变换 为标准形 第三节 正定二次型 定理 2 对于二次型 它的秩为r? 用两个可逆变换 把它变成 两个不同 的标准形： 二次型的 标准形 有各种不同的形式, 但是标准形中的 (其项数 项数不变 等于二次型的秩)? 中 正数 的个数 等于 中 正数 的个数 标准形中 正系数 的个数不变 称为 正系数的个数 正惯性指数 负系数 负系数的个数 称为负惯性指数 的个数不变 定理3 则称 f =XTA X为 它的标准形的 它的正惯性指数等于n? 二次型 f?XTAX 正定 证明 充分性 设 故 必要性 同样可证 设实二次型 ，若对于任何不全为零 都有 f( x1, x2 , … ,xn ) 其对称阵A是 的实数x1, x2 , … ,xn y1, y2 , … ,yn 令 y1 =1, y2 =0, … ,yn =0 ? 0 f( x1, x2 , … ,xn ) 设可逆变换 n个系数全为正 正定二次型? 正定矩阵 当x1, x2 , … ,xn不全为零时 x1, x2 , … ,xn不全为零 f?XTAX 设二次型 f?XTAX 正定 它的标准形的 n个系数全为正 不全为零 推论 对称阵A正定 A的特征值全为正? C?1AC??? 则一定有正交阵C? 使 A?C?CT 存在可逆矩阵P，使 A=PTP 证明 若对称阵A正定? 记 可逆 反过来 =XTPTPX =(PX)TPX PX = Y 对称阵A正定 若存在可逆矩阵P， 使 A=PTP =(Y)TY 对称阵A正定 f =XTA X y1, y2 , … ,yn 当x1, x2 , … ,xn不全为零时 不全为零 定理4 对称阵A 正定 A的各阶主子式都大于0? 即 例1 判别二次型 f 的矩阵为 解 因为主子式 1?0? 根据定理4 知 f 为正定? f?x2?2y2?6z2?2xy?2xz?6yz 的正定性? 1 2 6 1 1 3 3 1 1 例2 判别二次型 是否正定. 解 它的各阶主子式 故原二次型是正定的 ×2 5 1 5 2 2 —2 —2 — 4 — 4 2.　正定二次型（正定矩阵）的判别方法： (1)定义法 (2) 主子式判别法； (3)特征值判别法. 1.　正定二次型的概念 正定二次型与正定矩阵的区别与联系． 3.正定矩阵具有以下一些简单性质 证明 XTBX ?0? XT(A+B)X XTBX ?0 =XTAX + (1).若A为正定矩阵 则AT，A—1，A*全部为正定矩阵 (2).若A，B为正定矩阵 则A+B为正定矩阵 都有 XTAX ?0? 对任何X?0? A+B为正定矩阵 A为正定矩阵 对任何X?0? 都有 XTAX ?0? *