第2章对偶理论和灵敏度分析第78节48063.ppt

运筹学 第7节???灵敏度分析 以前讨论线性规划问题时，假定αij，bi,cj都是常数。但实际上这些系数往往是估计值和预测值。 如市场条件一变，cj值就会变化；αij往往是因工艺条件的改变而改变；bi是根据资源投入后的经济效果决定的一种决策选择。 因此提出这样两个问题： (1)当这些系数有一个或几个发生变化时，已求得的线性规划问题的最优解会有什么变化； (2)或者这些系数在什么范围内变化时，线性规划问题的最优解或最优基不变。后一个问题将在第8节参数线性规划中讨论。 线性规划问题中某一个或几个系数发生变化 显然，当线性规划问题中某一个或几个系数发生变化后，原来已得结果一般会发生变化。当然可以用单纯形法从头计算，以便得到新的最优解。这样做很麻烦，而且也没有必要。因在单纯形法迭代时，每次运算都和基变量的系数矩阵B有关，因此可以把发生变化的个别系数，经过一定计算后直接填入最终计算表中，并进行检查和分析，可按表2-9中的几种情况 进行处理。 表 2-9 7.1 资源数量变化的分析 资源数量变化是指资源中某系数br发生变化，即br′=br+Δbr。并假设规划问题的其他系数都不变。这样使最终表中原问题的解相应地变化为 XB′=B-1(b+Δb) 这里Δb=(0,…，Δbr,0,…，0)T。只要XB′≥0，因最终表中检验数不变，故最优基不变，但最优解的值发生了变化，所以XB′为新的最优解。新的最优解的值可允许变化范围用以下方法确定。 B-1 是最终计算表中的最优基的逆 b列的元素变化 例如求第1章例1中第二个约束条件b2的变化范围。 解：可以利用第1章例1的最终计算表中的数据： 可计算Δb2： 例7 从表1-5得知第1章例1中，每设备台时的影子价格为1.5元，若该厂又从其他处抽调4台时用于生产产品Ⅰ，Ⅱ。求这时该厂生产产品Ⅰ，Ⅱ的最优方案。  解 先计算B-1Δb,将结果反映到最终表1-5中，得 表2-10。 由于表2-10中b列有负数，故用对偶单纯形法求新的最优解。计算结果见表2-11。  即该厂最优生产方案应改为生产4件产品Ⅰ，生产3件产品Ⅱ，获利 z*=4×2+3×3=17(元) 从表2.11 看出x3=2，即设备还有2小时未被利用 单纯形表结构 Δcr 可变化的范围 例8 试以第1章例1的最终表表1-5为例。设基变量x2的系数c2变化Δc2，在原最优解不变条件下，确定Δc2的变化范围。 解 这时表1-5最终计算表便成为表2-12所示。 若保持原最优解，从表2-12的检验数行可见应有 由此可得Δc2≥-3 和Δc2≤1。 Δc2的变化范围为 -3≤Δc2≤1 即x2的价值系数c2可以在［0，4］之间变化，而不影响原最优解。 7.3 技术系数αij的变化  分两种情况来讨论技术系数αij的变化，下面以具体例子来说明。 ? 例9 分析在原计划中是否应该安排一种新产品。以第1章例1为例。设该厂除了生产产品Ⅰ，Ⅱ外，现有一种新产品III。已知生产产品III，每件需消耗原材料A，B各为6kg，3kg，使用设备2台时；每件可获利5元。问该厂是否应生产该产品和生产多少? 解 分析该问题的步骤是：  (1) 设生产产品II为x3′台，其技术系数向量P3′=(2,6,3)T，然后计算最终表中对应x3′的检验数 σ3′=c3′-CBＢ-1Ｐ3′=5-(1.5,0.125,0)(2,6,3)T =1.25＞0 说明安排生产产品III是有利的。  分析该问题的步骤(2)是：  表 2-13(a) 分析该问题的步骤(3)是： (3) 将x3′作为换入变量，x5作为换出变量，进行迭代，求出最优解。计算结果见表2-13(b)，这时得最优解：x1=1,x2=1.5，x3′=2。总的利润为16.5元。比原计划增加了2.5元。 表2-13(b) 例10 分析原计划生产产品的工艺结构发生变化。仍以第1章例1为例，若原计划生产产品Ⅰ的工艺结构有了改进，这时有关它的技术系数向量变为P1′=(2,5,2)T，每件利润为4元，试分析对原最优计划有什么影响? 解 把改进工艺结构的产品Ⅰ看作产品Ⅰ′，设x1′为其产量。于是在原计算的最终表中以x1′代替x1，计算对应x1′的列向量。。 表 2-14 表 2-15 表2-15表明原问题和对偶问题的解都是可行解。所以表中的结果已是最优解。即应当生产产品Ⅰ′，3.2单位；生产产品Ⅱ，0.8单位。可获利15.2元。 注意：若碰到原问题和对偶问题均为非可行解时，就需要引进人工变量后重新求解。 例11 假设例10的产品Ⅰ′的技术系数向量变为P1′=(4,5,2)T，而每件获利仍为4元。试问该厂应如何安排最优生产方案