高数卷子数学一5.docVIP

第五套试题 数学（一）试题（5-1） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。） （1）设是条件极值问题的解，且。又设分别是曲面和曲面在点的切平面，则（ ）。 （A）和相互垂直 （B）与重合 （C）与的法线的夹角是 （D）A，B，C都不正确 （2）设广义积分收敛，则（ ）。 （A） （B） （C） （D） （3）在曲线的所有切线中，与平面平行的切线（ ）。 （A）只有一条 （B）只有两条 （C）只有三条 （D）不存在 （4）函数在点满足的充分条件是（ ）。 （A）在点的两个偏导数 （B）在点的全增量 （C）在点的全增量 （D）在点的全增量 （5）设在某邻域内有二阶连续导数，且，则 （A），但 （B），且 （C），且 （D），且 （6）级数（ ）。 （A）条件收敛 （B）绝对收敛 （C）发散 （D）收敛性与参数有关 （7）设A为,则（ ）。 （A）当 （B）当 （C）当 （D）当 （8）设B是三阶非零方阵，且B的每一列都是方程组的解，设r（B） r,其中t为常数，则（ ）。 （A）r 1 （B）r1 （C）r 2 （D）r2 （9）设总体）,为简单随机样本，要使的95%的置信区间长度不超过0.6，至少要取样本容量n为（ ）。 （A）10 （B）11 （C）8 （D）3 （10）设随机变量X与Y相互独立，X服从区间[0，1]上的均匀分布，Y服从参数 1/2的指数分布，又设含有a的二次方程为，则方程有实根的概率为（ ）。 （A）0.2256 （B）0.1445 （C）0.3418 （D）0.4201 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上） （11）设，在上连接，在内可微，，的正向边界为，若在上满足方程，若曲线的外法矢量为，则极限 ___________. （12）级数的和是___________________。 （13）具有特解的三阶线性常系数齐次微分方程是_________ （14）已知,,则 _________. （15）已知连续型随机变量的概率密度为,则 ________. （16）设总体服从正态分布N（,）,是的一个样本值,在显著性水平下,已求得假设“总体的均值等于75”的拒绝域为 : 74.02或75.98 ，则样本容量n ______.（标准正态分布函数值 ） 三、解答题（本题9小题，满分94分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （17）（本题满分10分）将函数展开成x的幂级数,并求级数的和. （18）（本题满分11分）设有三角形闸板,两直角边和为将其竖直放入水中,使一直角与水面重合,另一直角边垂直向下,问两直角边成何比例时,三角形闸板承受水压力最大?设水的密度为1,求出此最大压力。 （19）（本题满分10分）计算,其中S为上半球面,上侧为正。 （20）（本题满分11分）（1）求常数b使得线性变换将关于自变量x的微分方程变成关于变量ｔ的方程．（2）求该方程的通解． （21）（本题满分11分）设是ｎ阶矩阵，是ｎ维向量，且 ，问是线 性相关还是线性无关的？证明你的结论. （22）（本题满分11分）设是秩为的阶方阵（０＜＜），满足又，其中是阶单位矩阵． （1）证明B可逆； （2）用矩阵的多项式表示B的伴随矩阵． （23）（本题满分11分）设与的联合概率密度函数为 （1）证明随机变量具有如下性质:对任意的，有 （2）求的数学期望． （24）（本题满分11分）设某网络服务器首次失效时间遵从,现随机购得4台中,求下列事件的概率； （1）事件：至少有一台其寿命（首次失效时间） 此类服务器期望寿命。 （2）事件：有且仅有一台寿命小于此类服务器期望寿命。