高数定理高等数学大一.docVIP

第一章 函数与极限 1、 函数的有界性 在定义域内有f x ≥K1则函数f x 在定义域上有下界，K1为下界；如果有f x ≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f x 在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、 函数的单调性、奇偶性、周期性（指最小正周期） 3、 数列的极限 定理 极限的唯一性 数列 xn 不能同时收敛于两个不同的极限。 定理（收敛数列的有界性）如果数列 xn 收敛，那么数列 xn 一定有界。 ? 如果数列 xn 无界，那么数列 xn 一定发散；但如果数列 xn 有界，却不能断定数列 xn 一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，（-1）n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理（收敛数列与其子数列的关系）如果数列 xn 收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a。 ● 如果数列 xn 有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列 xn 是发散的，如数列1，-1，1，-1，（-1）n+1…中子数列 x2k-1 收敛于1， xnk 收敛于-1， xn 却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 4、函数的极限 函数极限的定义中0 |x-x0|表示x≠x0,所以x→x0时f x 有没有极限与f x 在点x0有没有定义无关。 定理（极限的局部保号性）如果lim x→x0 时f x A，而且A 0（或A 0），就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f x 0（或f x 0），反之也成立。 ● 函数f x 当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f x0-0 f x0+0 ，若不相等则lim f x 不存在。 ● 一般的说，如果lim（x→∞） f x c，则直线y c是函数y f x 的图形水平渐近线。如果lim（x→x0） f x ∞，则直线x x0是函数y f x 图形的铅直渐近线。 5、 极限运算法则 定理 有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小； 定理 如果F1（x）≥F2（x）,而lim F1 x a，lim F2 x b，那么a≥b。 6、 极限存在准则 ● 两个重要极限lim（x→0）（sinx/x） 1；lim（x→∞）（1+1/x）x 1。 ● 夹逼准则 如果数列 xn 、 yn 、 zn 满足下列条件：yn ≤xn ≤zn且lim yn a，lim zn a，那么lim xn a，对于函数该准则也成立。 ● 单调有界数列必有极限。 7、 函数的连续性 ● 设函数y f x 在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f x 当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f x0 ，即lim（x→x0） f x f x0 ，那么就称函数f x 在点x0处连续。 ● 不连续情形：1、在点x x0没有定义；2、虽在x x0有定义但lim（x→x0） f x 不存在；3、虽在x x0有定义且lim（x→x0） f x 存在，但lim（x→x0） f x ≠f x0 时则称函数在x0处不连续或间断。 ● 如果x0是函数f x 的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f x 的第一类间断点（左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点）。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点（无穷间断点和震荡间断点）。 ● 定理 有限个在某点连续的函数的和、积、商（分母不为0）是个在该点连续的函数。 ● 定理 如果函数f x 在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x f y 在对应的区间Iy y| y f x ,x∈Ix 上单调增加或减少且连续。反三角函数在他们的定义域内都是连续的。 ● 定理（最大值最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值。如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值和最小值。 ● 定理（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界，即m ≤f x ≤M。 ● 定理（零点定理）设函数f x 在闭区间[a,b]上连续，且f a 与 f b 异号（即f a × f b 0），那么在开区间（a,b）内至少有函数f x 的一个零点，即至少有一点ξ（a ξ b）使f ξ 0。 ● 定理（介值定理）设函数f x 在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点处取不同的值f a A， f b B，那么对于A与 B之间的任一数C，在开区间（a,b）内至少有一点ξ使f ξ C，（a ξ b）。 ● 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何 值。 第二章