高斯求和(一)邓小琼.docVIP

高斯求和（一） 教学目标： （1）掌握等差数列的定义，了解等差数列首项，末项和公差。 （2）能够运用等差数列的公式求解一般等差问题。 教学过程： 引入：世界上有一名著名的数学家叫高斯，他在很小的时候，老师给同学们出了一道数学题，让大家计算：1+2+3+4+5…+99+100 高斯仔细观察后，很快就计算出了结果。你们能猜出他是怎么计算的吗？ 高斯解题过程：1+100 2+99 3+98 … 49+52 50+51 101，共有100÷2 50（个）。于是 1+2+3+4+5…+99+100 （1+100）×100÷2 5050 在这里，出现了一列数据。我们定义：按一定次序排列的一串数叫做数列。一个数列，如果从第二项开始，每一项减去它紧前边的一项，所得的差都相等，就叫做等差数列。 等差数列中的每一个数都叫做项，其中从左起第一项叫做首项，最后一项叫做末项，项的个数叫做项数。等差数列中相邻两项的差叫做公差。 例如：上面高斯求解的问题：首项是1，末项是100，项数是100，公差是1. 我们得出高斯求解方法更多的是告诉我们一个求解等差数列的公式： 等差数列的和 （首项+末项）×项数÷2 专题讲解 例一：找出下列算式当中的首项，末项，项数和公差。 （1）2 ，5 ，8 ，11 ，14 ，17 ，20 ，23 （2）0 ，4 ，8 ，12 ，16 ，20 ，24 ，28 （3）3 ，15 ，27 ，39 ，51 ，63 让学生上黑板演示结果。 首项2，末项23，项数8，公差3 首项0，末项28，项数8，公差4 首项3，末项63，项数6，公差12 知道在等差数列中如何准备找出首项，末项，项数及公差以后，更重要的是熟练运用等差数列求和公式解决一般等差数列问题。 例二：1+2+3+4+…+1998+1999. 问：算式当中的首项，末项，项数分别是什么？ 答：首项是1，末项是1999，项数是1999。 解析：原式 （1+1999）×1999÷2 2000×1999÷2 1999000 小结：这是一道一般等差数列类型题，可以直接找到求解公式中需要的几个量。在计算过程中，当一个数乘另外一个数末尾有零时，先不看末尾的零，计算结束后，将零的相同个数添在积的末尾就行。 练习：（1）1+2+3+4+…+250 （2）1+2+3+4+…+200 （3）1+3+5+7+…+97+99 例三：求出所有两位数的和。 问：（1）两位数是从哪个数开始，又是到哪个数为止？ （2）两位数一共有多少个？ 解：原式 （10+99）×90÷2 109×90÷2 4905 注意：解上面这道题需要我们动脑经的是先要准确的写出这个数列，找出数列的首项，末项和项数。在解题过程中会用到我们刚学过的三位数乘两位数的乘法，计算一定要小心。 练习：（1）40+41+42+43+…+80+81 （2）10+11+12+…+49+50 例四：某单位的总务处主任，不小心把50把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，最多要试多少次？ 问：（1）“最多”应该怎么样理解？ （2）能否试着把数列写出来？ 分析：这是一道解决实际问题的题，就要注意联系生活实际来思考。如开第一把锁时，试了49把钥匙都不对，那所剩下的一把肯定能打开，不用试50次，试49次就可以了。同样开第二把锁，最多试48次，依次类推，试完49把锁，剩下最后的一把不用试，一定能打开。 这道题，开锁最多要试多少次，应该是一个，49+48+47+…+1+0的等差数列的和。它的首项是49，末项是0，项数是50，公差是1。根据等差数列求和公式就可以求出最多要试多少次。 解：49+48+47+…+1+0 （49+0）×50÷2 1225 练习：（1）新年到了，10个好朋友聚会，每两个人之间要握一次手，他们一共要握多少次手？ （2）市里举行数学竞赛，参加数学竞赛的有16个小组，每两组之间都要赛一场，他们一共要进行多少场比赛？ 难度上升题： （1）437-1-2-3-4…-29 （2）2000-1-2-3-4…-60 （3）（1+3+5+…+1997+1999）－（2+4+6+…+1996+1998） （4）盒子里放有1只球，一位魔术师第一次从盒子里将这只球拿出，变成了3只球后放回盒子里，第二次从盒子里拿出2只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里，如此继续下去，最后第10次从盒子里拿出10只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里。这时盒子里共有多少只球？ 解：（1）原式 437-（1+29）×29÷2 2 （2）原式 2000-（1+60）×60÷2 170 （3）法一： 原式 （1+1999）×1000÷2－（2+1998）×999÷2 1000000－999000 1000 法二： 原式 1+（3－2）+（5－4）+…＋（1999－1998）