高等代数教学大纲2014.docVIP

高等代数教学大纲 代数教研室 [本大纲以北大数学系编《高等代数》第四版为依据拟定，共需约216学时 (讲授144学时+习题课72学时)] 课程总体目标 理解和掌握高等代数中的一些基本概念和基础知识，如数域、多项式、n阶行列式、线性方程组、矩阵、二次型、向量空间、线性变换、矩阵、欧氏空间、以及双线性函数与辛空间等抽象代数基本概念。 具备逻辑推理、抽象思维与综合分析的能力，能运用高等代数中的基础知识、基本理论进行推理和证明。 熟练掌握高等代数中常用的方法。 了解近世代数研究的对象和基本方法. 第一章 多项式(26学时) （一）教学目的和要求 熟练掌握一元多项式的基本概念及其运算。 熟练掌握一元多项式的整除，最大公因子，互素的概念，性质及有关的证明。 熟练掌握不可约多项式的概念，性质，理解因式分解定理的意义，掌握复数域，实数域上的多项式的标准分解式及复数域，实数域上不可约多项式 会直接利用艾森斯坦因判别法，会求Q[x]中的多项式的有理根。 （二）教学内容 多项式的概念及其运算：多项式的定义，多项式相等，零多项式，多项式次数。 多项式和与积的定义；带余除法，用带余除法求商和余式，商与余存在及唯一性定理；多项式的值与多项式的根的定义，余数定理，综合除法，用综合除法求多项式的值；多项式的次数与根的个数的关系，多项式相等的定义。 多项式整除的定义，性质；最大公因式的定义；用辗转相除法求最大公因式，最大公因式的存在与唯一性定理；最大公因式的性质;互素的定义及等价条件；不可约多项式的定义及等价条件；不可约多项式的性质；因式分解定理及标准分解式。 重因式：重因式的定义，系数与重因式的关系；无重因式的充要条件，去掉重因式的方法；重根的定义，重根与系数的关系。 复数域和实数域上的多项式的因式分解：代数学基本定理， C[x]上的不可约多项式，多项式的标准分解式，C上的n次多项式有n个根；R上的不可约多项式，多项式的标准分解式。 本原多项式的定义及性质，整系数多项式在Z[x]中不可约与在Q[x]中不可约的关系，艾森斯坦因判别法，对任意自然数n, Q[x]中存在任意次不可约多项式，求有理系数多项式的有理根。 第二章行列式 (28学时) （一）教学目的和要求 （1）正确理解行列式的定义和基本性质。 （2）熟练掌握计算行列式的一些常用方法。 （3）正确理解克莱姆法则并能用它解线性方生程组。 （二）教学内容 排列，逆序数，排列的奇偶性，对换。 （2）n阶行列式的定义；一些特殊行列式；上（下）三角形行列式，对角行列式，对称行列式，反对称行列式；转置行列式，范德蒙行列式；行列式的性质；余子式，代数余子式，行列式的展开。 计算行列式的一些常用方法：化标准形法，升（降）阶法，析因子法，归纳法，递推法。 克莱姆法则；n个未知量n个方程的齐次线性方程组有非零解的必要条件。 第三章 线性方程组 (26学时) （一）教学目的和要求 掌握线性方程组的有关概念，能熟练地运用消元法解线性方程组，理解同解变换在解方程过程中的意义，知道消元法在解线性方程组中遗留的问题。 正确理解向量组的线性相关性，向量组的极大线性无关组和向量组的秩的定义及意义。 深刻理解矩阵秩的定义，掌握初等变换下的矩阵的标准形，会用矩阵的初等变换求矩阵的秩。 正确理解线性方程组有解的条件，并能正确地判定一个线性方程组是否有解及解的个数。 熟练掌握线性方程组解的结构定理。 （二）教学内容 线性方程组，线性方程组的解，解线性方程组；线性方程组的通解及自由未知量；线性方程组同解，线性方程组的同解变换。 矩阵，矩阵的初等变换的定义、作用和意义，矩阵在行初等变换和交换列的初等变换下的标准形---阶梯形矩阵。 消元法，它的内容和格式，系数矩阵，增广矩阵。 概念：n元向量的线性相关性（相关，无关，组合，表示），向量组的秩（极大无关组，秩），矩阵的秩（行秩，列秩，秩），线性方程组的解的结构。 理论：向量组的线性相关性的有关性质，矩阵的初等变换的性质，线性方程组有解的判定定理，线性方程组的解的个数，齐次线性方程组有非零解的判定定理，线性方程组的解的结构定理。 方法：求向量组的极大线性无关组的方法（用定义，用初等变换），求齐次线性方程组的基础解系的方法，求线性方程组的通解的方法，求矩阵秩的方法（用定义，用初等变换）。 第四章 矩阵(24学时) （一）教学目的和要求 (1) 正确理解和掌握本章的主要概念，熟练和准确地进行矩阵的运算。 (2) 会判定一个矩阵是否可逆，会求逆矩阵。 (3) 熟练掌握初等变换与初等矩阵，可逆矩阵与初等矩阵的关系，矩阵在等价意义下的标 准形并会运用标准形解决矩阵中的一些问题，特别是关于矩阵秩的问题。 （二）教学内容 （1）概念：矩阵的运算，可逆矩阵，初等矩阵，矩阵的分块。