高等几何考试大纲.docVIP

高等几何考试大纲 指定用书：《高等几何》，朱德祥主编，高等教育出版社1983年9月第1版 Ⅰ.课程性质和学习目的 高等几何是高等师范数学专业基础课程之一，一般包含射影几何与几何基础两部分。它是在已学过初等几何、解析几何与高等代数的基础上来系统地研究射影几何的基本知识，明确射影空间的基本特征和研究方法，以及射影空间与仿射空间、欧氏空间的内在联系，从而发展几何空间的概念。而几何基础是从几何公理体系方面研究几何空间，懂得现代公理体系的构成和几何空间的多样性。从而能更深入地掌握初等几何与解析几何知识，为进一步学习现代数学作准备。 Ⅱ.课程内容及考核要求 射影几何 第一章 仿射几何的基本概念 本章是在欧氏几何的基础上介绍仿射几何的基本概念，研究有关正交复换和仿射变换的有关知识，它是从欧氏几何过渡到射影几何的桥梁。 一、考核要求 1.明确平行射影、透视仿射对应、仿射对应、简比、同素性、仿射不变性、仿射不变量、仿射坐标系，仿射图形等概念； 2.明确仿射变换的三个等价定义； 3.理解并掌握仿射变换的主要不变量和不变性质； 4.理解并掌握仿射几何的基本定理 不共线的三对对应点决定唯一的仿射变换 ； 5.会作一图形的仿射对应图形； 6.能利用仿射图形的性质证明某些初等几何问题。 二、课程内容 1.平行射影与仿射对应； 2.仿射不变性与不变量； 3.平面到自身的透视仿射； 4.平面内的一般仿射； 5.仿射变换的代数表示。 第二章 欧氏平面的拓广 本章在于改造欧几里德空间，而构成射影空间，以及它的元素的关系，由于我们研究的对象是射影几何，首先就必需通过中心射影法。 一、考核要求 1.明确射影直线，中心投影 透视 ，射影平面、仿射平面等概念； 2.明确非齐次坐标和齐次坐标，点坐标和线坐标，点几何与线几何，直线的方程，点的线方程等概念； 3.理解与掌握射影平面上的对偶元素和平面射影几何的对偶原理； 4.了解复元素的意义； 5.能根据已知条件列出直线方程和点的坐标；能叙述已知命题的相应的对偶命题；会作出已知图形的对偶图形。 二、课程内容 1.中心投影 透视 与理想元素； 2.齐次坐标； 3.对偶原理； 4.复元素。 第三章 一维射影几何 本章讨论的对象是一维几何图形，具体说就是点列和线束，重点在于点列和线束的射影不变量。 一、考核要求 1.掌握和理解已知两点A a 、B b 连线上的任一点的M x 的表示 x λa+μb，以及对偶图形线束的类似表达式； 2.掌握和理解基本射影不变量——交比的定义和性质；交比的坐标表示，以及对偶图形线束的交比； 3.掌握一维射影对应表达式 μ′ -bμ-daμ+c-b-d a c≠0，以及几何特性 两个一维基本图形成射影对应的充要条件； 4.明确Von studt定理的意义，掌握两个点列之间的射应对应式 ρx′1 a11x1+a12x2ρx′2 a21x1+a22x2〖JB ｝〗 〖JB ｜〗a11 a12a21 a22≠0 5.明确透视、透视链的概念；明确透视对应与射影对应的区别；两个射影点列 线束 成透视的充要条件； 6.会作已知两成射影点列的三对对应点，求第四对应点，以及对偶图形一线束的类似作法； 7.会作已知一直线三点A、B、C，求第四点使交比 ABCD λ 定数 ； 8.明确对合对应的有关概念，对合的表达式，以及对合由两对不同的对应元素唯一决定等定理。 二、课程内容 1.点列和线束； 2.点列的交比； 3.线束的交比； 4.一维射影对应； 5.透视对应； 6.对合对应。 第四章 代沙格定理、四点形与四线形 本章所研究的射影几何，重点是代沙格定理，完全四点形和完全四线形的调和性质，以及巴卜斯定理，它们是研究射影几何中二次曲线的基础，也是运用于证明初等几何某些命题的根据。 一、考核要求 1.理解与掌握代沙格 Desargues 定理及逆定理，运用它于证明初等几何的共点线和共线点问题，以及有关的几何作图； 2.理解与掌握完全四线形的调和性质，运用它于证明共点线和共线点问题，以及会求第四调和点的作图问题； 3.明确巴卜斯 Pappus 定理。 二、课程内容 1.代沙格定理； 2.完全四点 角 形与完全四线 边 形； 3.巴卜斯定理。 第五章 射影坐标和射影变换 本章研究的射影坐标和射影变换是作为研究射影几何的代数工具。一维射影坐标系和平面射影坐标系都是以不变量交比为基础的坐标系。射影变换是从点变换和线变换的角度出发，来研究二维射影变换的基本不变量和不变元素。 一、考核要求 1.明确一维射影坐标系中基点，