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高等数学（B）（1）第一次作业 初等数学知识 名词解释 邻域：设和是两个实数，且，满足不等式的实数的全体称为的邻域。 绝对值；数轴上的点到原点的距离称为的绝对值，记为。 数轴：规定了原点、正方向和长度的直线称为数轴。 实数：实数由有理数和无理数组成。有理数包括整数和分数。 填空题 1、绝对值的性质有（）、（）、（）、（）、（）、（）。 2、开区间的表示有（ ）、（ ）（提示：分别用区间和数轴形式表示） 3、闭区间的表示有（ ）、（ ）。 4、无穷大的记号（）。 5．（-∞，+∞）表示（ 全体实数），或记为（ R）。 6、（-∞，b）表示（满足不等式的一切实数），或记为（）。 7、（a，+∞）表示（（满足不等式的一切实数），或记为（）。 8、去心邻域是指（满足不等式且）的全体，用数轴表示即为（P7下图）。 9、满足不等式的数x用区间可表示为（）。 回答题 1、初等数学为高等数学做了哪些准备？ 答：（1）发展符号意识，实现从具体数学的运算到抽象符号运算转变。符号是一种更为简洁的语言，没有国界，全世界共享，并且这种语言具有运算能力。 （2）培养严密的逻辑思维能力，实现从具体描述到严格证明的转变。 （3）培养抽象思维的能力，实现从具体数学到概念化数学的转变。 （4）发展变化意识，实现从常量数学到变量数学的转变。 2、有理数包括哪些数？ 答：有理数包括整数和分数。 数轴上二个有理数之间都是有理数吗？ 答：二个有理数之间有有理数，也有无理数。 不等式等价于哪个区间？ 答：等价于。 点的邻域如何表示？ 答：。 计算题 解不等式 解：，，或； 所以不等式的解为。 解不等式 解：，，或； 所以不等式的解为。 解方程 解：，，或。 函 数 名词解释 函数 答：设和是两个变量，若当变量在其变动区域D内取任一数值时，变量依照某一法则总有一个确定的数值与值对应，则称变量为变量的函数，记作。 奇函数 答：设函数在关于原点对称的集合D上有定义，如果对任意的，恒有，则称函数为奇函数。 偶函数 答：设函数在关于原点对称的集合D上有定义，如果对任意的，恒有，则称函数为偶函数。 定义域 答：在函数的定义中，自变量的变动区域，称为函数的定义域。 值域 答：在函数的定义中，的取值的集合称为函数的值域。 初等函数 答：由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运算而得到的函数称为初等函数。 三角函数 答：正弦函数，余弦函数，正切函数，余切函数，正割函数，余割函数合称三角函数。 指数函数： 答：函数，称为指数函数。 复合函数 答：设是的函数，是的函数，如果的值哉包含在的定义域中，则通过构成的函数，记作，这种函数称为复合函数，其中称为中间变量。 对数函数 答：函数，称为对数函数。 反函数 答：设设是的函数，其值域为G，如果对于G中的第一个值，都有有一个确定的且满足的值与它对应，则得到一个定义在G 上的以为自变量，为因变量的新函数，称它为的反函数，记作，并称为直接函数。 幂函数 答：函数（为实数）称为幂函数。 常数函数 答：函数（为实数）称为常数函数，它的定义域是。 常量 答：一类量在考察的过程中不发生变化，只取一个固定的值，我们称它为常量。 变量 答：一类量在考察的过程中是变化的，可以取不同的数值，我们称它为变量。 填空题 1、函数概念最早是由（莱布尼兹）引进的，有了函数概念，人们就可以从（数量）上确切地描述运动。 2、在历史上第一个给出函数一般定义的是（狄里克雷），并给出了一个不能画出图形的函数，这就是著名的（狄里克雷函数），它的表示式是（ ）。 3、函数的三种表示方法：（解析表达式），（图形式），（表格式）。 4、函数表达了（因变量）与（自变量）之间的一种对应规则。 5、单值函数是当（自变量）在（定义域）中取定了一数值时，与之对应的（函数值）是唯一的函数。 6、奇函数的图像特点是（图像关于原点对称 ）。 7、单调函数的图像特点是（沿轴正向逐渐上升或沿轴正向逐渐下 降）。 8、反函数的图像特点是（与原函数的图像关于直线对称）。 回答题 什么是有界函数？ 答：设函数在集合D上有定义，如果存在一个正数M，对于所有的，恒有，则称函数在D上为有界函数。 对于有界函数要注意哪几点？ 答：对于函数的有界性，要注意以下几点： （1）当一个函数在区间内有界时，正数M的取法不是唯一的。 （2）有界性是依赖于区间的。 什么是单调函数？ 答：设函数在区间内有定义，如果对于内的任意两点和，当时，恒有，则称函数在区间内单调增加；如果对于内的任意两点和，当时，恒有，则称函数在区间内单调减少。单调增加函数和单调减少函数统称单调函数。 反函数存在定理是什么？ 答：若函数在上是单调的，其值域是，则函数存在反函数，其定义域是，值域为。 作图题 （1） 用描点法，即多取几个值，算出相应的值，作出众