高等数学习题精讲之3导数与微分.doc

第3章 导数与微分 §3.1 导 数 1. 导数的概念 （1）设在有定义，若在处当时，的极限存在，则称为在处的导数，记为，，，即 ，或 几何意义：表示曲线在点处切线的斜率。 （2）若在内处处可导，则其导数记为，，，即 定义的拓展 （3）单侧导数定义 左导数 右导数 （4）可导的充要条件 ，则 2. 导数的运算法则 （1）设，在处可导，则 ； ； （2）基本求导公式 （3）复合函数求导法：设在处可导，则 一般地，若，则 （4）隐含数求导法（设是方程确定的隐含数） 直接法：方程两边对求导，其中是的复合函数； 微分法：利用微分形式不变性，两边微分后解出； 公式法： （5）取对数求导法： 特别地，， （6）反函数求导法：设的反函数为 ，，， （7）参数方程求导法：设，则 ，，， （8）分段函数求导法：一般分段点处要用定义和充分必要条件求导数。 （9）高阶导数：若导函数在处可导，则称为的二阶导数 ，记为，，， 类似有 高阶求导公式 莱布尼兹公式：， §3.2 微 分 1. 微分的概念 （1）设在有定义，若点取时，可表为 其中，是微分系数与无关，是比的高阶无穷小，则称在处可微。称为在处的微分，记为或 （2）几何意义：在点取时，为在点沿切线的纵坐标的改变量；为在点分别沿曲线和切线纵坐标的改变量的差 （3）在处可微的充分必要条件是：在处可导 2. 导数、微分与连续的关系 可导等价于可微，且。可导必连续，连续未必可导，即 可导 可微 连续 3. 一阶微分形式不变形 设，，其复合函数为，则无论对中间变量还是自变量，函数微分形式一致。即 §3.3 典型例题解析 1．利用导数的定义求极限 解题思路 若所求极限能化为的形式，则无论极限过程，只要方框内是相同的无穷小量，所求极限是。 例1 设存在， 解 原式 例2 已知存在，且，求 解 原式 例3 设存在，求 解 原式 例4 已知，，，求 解 ，，故 2．利用导数的定义求导数 解题思路 （1）用定义求复杂函数的定点导数较方便； （2）抽象函数仅知连续条件求其定点导数时须用定义求解； （3）判断函数定点的可导性须用定义和可导的充分必要条件求解； （4）由已知条件和定义求导函数，有时要先求定点的导数或函数值，再求导函数。 例6 设，求 解法1 由于，则 解法2 设，显然在可导，则 例7 设，其中在的邻域内连续，在点可导，且，，求 解 例9 设在上有定义，满足，且，求 解 令，，得，则 3．分段函数、含绝对值函数的求导及其反问题 解题思路 （1）分段函数在分段点的导数须用定义和可导的充分必要条件求解； （2）函数由参数式或含绝对值给出时，应先求函数的分段表达式，再求解； （3）由函数连续的三条件及可导的充要条件对各分支列方程，联立求解常数。 例11 ，处处可导，求的导数。 解 当时， 当时， 例13 设，求并讨论的连续性与可导性 解 当时，在处连续，从而在连续； ； 当，时，在处可导，从而在可导 例15 设，若在可导，求的值 解 在可导必连续，则 ， 又，则由可导的充要条件得 ， 例16 设二阶可导，求 解 由函数连续三条件得 ，， 由函数可导的充要条件得 由函数二阶可导的充要条件得 4．复合函数和反函数求导法 解题思路 （1）复合函数的求导：无论函数是几层复合，从最外层开始按基本初等函数逐层求导，即； （2）若函数由中间变量的形式给出，则需经变量代换求解； （3）函数是反函数解析式时，可先求反函数的导数，则。 例17 设，求， 解 令，则，， 例18 设，，求 解 设，则， 例19 设在内可导，且，，求在内的表达式。 解 由于，则 由于在连续，且，则 ， ， 令，， ； 例21 记，，，求， 解 由反函数求导法得，再由复合函数求导法得 5．隐函数、幂指函数与取对数求导法 解题思路 （1）直接法求隐含数导数注意，是中间变量，含的函数求导后