高等数学定理及性质集锦.docVIP

专升本高数定理及性质集锦 1、数列极限的存在准则 　　定理1（两面夹准则）若数列{xn},{yn},{zn}满足以下条件： 　　（1），（2）， 则 定理若数列{xn}单调有界，则它必有极限。数列极限的四则运算定理　 （1） （2） 3）当时，推论 ：（1） 　　（2） （3） 当x→x0时，函数f（x）的极限等于A的必要充分条件是 　　这就是说：如果当x→x0时，函数f（x）的极限等于A，则必定有左、右极限都等于A。 　　反之，如果左、右极限都等于A，则必有。 函数极限的定理 　　定理　（惟一性定理）如果存在，则极限值必定惟一。 定理　（两面夹定理）设函数在点的某个邻域内（可除外）满足条件：　　（1），（2）则有。 无穷小量的基本性质 　　性质1　有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量； 　　性质2　有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，常量与无穷小量的乘积是无穷小量。 　　 　　性质3　有限个无穷小量的乘积是无穷小量。 性质4　无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。等价无穷小量代换定理： 　　如果当时，均为无穷小量，又有且存在，则。 重要极限 8、　重要极限是指下面的公式：　 （2）（3） 函数在一点处连续的性质 　　由于函数的连续性是通过极限来定义的，因而由极限的运算法则，可以得到下列连续函数的性质。 　　定理1　（四则运算）设函数f（x），g（x）在x0处均连续，则 （1）f（x）±g（x） 在x0处连续（2）f（x）·g（x）在x0处连续　　（3）若g（x0）≠0，则在x0处连续。 　　定理　（复合函数的连续性）设函数u=g（x）在x= x0处连续，y=f（u）在u0=g（x0）处连续，则复合函数y=f[g（x）]在x= x0处连续。 定理　（反函数的连续性）设函数y=f（x）在某区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少），则它的反函数x=f-1（y）也在对应区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少）闭区间上连续函数的性质 　　在闭区间[a，b]上连续的函数f（x），有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。 　　定理　（有界性定理） 如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）必在[a，b]上有界。 　　定理　（最大值和最小值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值和最小值。 　　定理　（介值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且其最大值和最小值分别为M和m，则对于介于m和M之间的任何实数C，在[a，b]上至少存在一个ξ，使得 f（ξ）=C零点定理　如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）与f（b）异号，则在[a，b]内至少存在一个点ξ，使得f（ξ）=0初等函数的连续性　　定理　初等函数在其定义的区间内连续。 　　利用初等函数连续性的结论可知：如果f（x）是初等函数，且x0是定义区间内的点，则 　　f（x）在x0处连续 　　 　　也就是说，求初等函数在定义区间内某点处的极限值，只要算出函数在该点的函数值即可。 可导与连续的关系 　　定理　如果函数y=f（x）在点x0处可导，则它在x0处必定连续。 由定理可知：若函数f（x）在x0不连续，则f（x）在x0处必定不可导。导数的计算　　导数的四则运算法则 　　设u=u（x），v=v（x）均为x的可导函数，则有 　　（1）（u±v）=u±v 　　（2）（u·v）=u·v+u·v 　　（3）（cu）=c·u 　　（4） 　　（5） 　　（6）（u·v·w）=u·v·w+u·v·w+u·v·w 　　复合函数求导法则 　　如果u=φ（x）在点x处可导，而y=f（u）在相应的点u=φ（x）处可导，则复合函数y=f[φ（x）]在点x处可导，且其导数为　　 　　同理，如果y=f（u），u=φ（v），v=ψ（x），则复合函数y=f[φ（ψ（x））]的导数为 　　 　　反函数求导法则 　　如果x=φ（y）为单调可导函数，则其反函数y=f（x）的导数 微分的计算 　　dy=f′(x)dx 　　求微分dy只要求出导数f′(x)再乘以dx，所以我们前面学过的求导基本公式与求导法则完全适用于微分的计算。于是有下列的微分公式及微分法则： 　　（1）d（c）=0（c为常数） 　　（2）（为任意实数） 　　 　　（6）d（ex）=exdx 　　（7）d（sin x）=cos xdx 　　（8）d（cos x）=-sin xdx 　 　 　　 　　（17）d（c·u）=cdu 　　 微分形式不变性 　　设函数y=f(u)，则不论u是自变量还是中间变量，函数的微分dy总可表示为 　　dy=f′(u)du常用的换元类型有： 被积函数类型 所用代换 代换名称 正弦代换 正切代换 根式代换