高等数学常用极限求法1.docVIP

求函数极限的方法和技巧 摘要: 本文就关于求函数极限的方法和技巧作了一个比较全面的概括、综合。 关键词：函数极限 引言 在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。 主要内容 一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明: 证: 由 取 则当 时,就有 由函数极限定义有: 2、利用极限的四则运算性质 若 (I) (II) (III)若 B≠0 则： （IV） （c为常数） 上述性质对于 例：求 解: = 3、约去零因式（此法适用于 例: 求 解:原式= = == = 4、通分法（适用于型） 例: 求 解: 原式= = = 5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质） 设函数f(x)、g(x) 满足： （I） (M为正整数) 则： 例: 求 解: 由 而 故 原式 = 6、利用无穷小量与无穷大量的关系。 （I）若： 则 (II) 若: 且 f(x)≠0 则 例: 求下列极限 ① ② 解: 由 故 由 故 = 7、等价无穷小代换法 设 都是同一极限过程中的无穷小量，且有： ， 存在， 则 也存在，且有= 例:求极限 解: = 注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数” 8、利用两个重要的极限。 但我们经常使用的是它们的变形： 例：求下列函数极限 9、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限）。 例：求下列函数的极限 （2） 10、变量替换法（适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型）特别地有： m、 、n ② 解: ①令 t= 则当 时 ,于是 原式= ②由于= 令： 则 == = 11、 利用函数极限的存在性定理 定理: 设在的某空心邻域内恒有 g(x)≤f(x)≤h(x) 且有: 则极限 存在, 且有 例: 求 (a1,n0) 解: 当 x≥1 时,存在唯一的正整数k,使 k ≤x≤k+1 于是当 n0 时有: 及 又 当x时,k 有 及 =0 12、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形)。 定理：函数极限存在且等于A的充分必要条件是左极限及右极限都存在且都等于A。即有： ==A 例：设= 求及 由 13、罗比塔法则（适用于未定式极限） 定理：若 此定理是对型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。 注：运用罗比塔法则求极限应注意以下几点： 要注意条件，也就是说，在没有化为时不可求导。 应用罗比塔法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用罗比塔法则，否则会引起错误。 4、当 不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方法。 例： 求下列函数的极限 ① ② 解：①令f(x)= , g(x)= l , 由于 但 从而运用罗比塔法则两次后得到 ② 由 故此例属于型，由罗比塔法则有： 14、利用泰勒公式 对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，下列为常用的展开式： 1、 2、 3、 4、 5、 6、 上述展开式中的符号都有: 例:求 解:利用泰勒公式，当 有 于是 = = = 15、利用拉格朗日中值定理 定理:若函数f满足如下条件： (I) f 在闭区间上连续