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高等数学应用（建模）题 （图书馆参考图书：高等数学应用205例） 1．货币兑换问题 已知美元兑换成加拿大元时，币面数值增加12%，把加拿大元兑换成美元时，币面数值减少12%。某人准备从美国到加拿大去度假，他把1000美元兑换成加拿大元，但因故未能去成，于是他又将加拿大元兑换成了美元，问他是否亏损？ 解：设为将美元兑换成的加拿大元数，为将加拿大元兑换成的美元数。则： ，， ， 1000-985.6=14.4，即亏损14.4美元。 2．住房是居民消费的一个重要部分。大部分选择银行按揭贷款，然后再若干年内逐月分期还款。如果你借了10万元，还款额一定超过10万元。 设贷款总额为，贷款期限为个月，采取逐月等额方式还本息。若为第个月的欠款数，为月还款数，为月利率。我们得到下列迭代关系式： 那么， 当时，。由此可以得到月还款计算公式： 例题1：农夫老李有一个半径为10米的圆形牛栏，里面长满了草，老李要将家里一头牛拴在一根栏桩上，但只让牛吃到一半草，它想让上大学的儿子告诉他，栓牛鼻的绳子应为多长？ 例题2：通道中的细杆 要运送一根细杆通过由宽5m和宽10m的通道垂直交叉口，在运送过程中必须保持细杆水平，问这根细杆最多可以多长？又通道为圆柱 形的且细杆不必保持水平，细杆至多可以有多长？ 3．房租如何定价使利润最大 一房地产公司有50套公寓要出租。当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去。当租金每增加10元时，就有一套租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费。试问房租定为多少可获得最大收入？ 解 设租金为元/月，租出的公寓有套，总收入为 令，得唯一驻点，此时。所以，当租金定为350元/月时可获得最大收入，最大收入为10890元。 *4．拉船靠岸问题 如图所示，在离水面高度为米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，假定绳长为米，船位于离岸壁米处，试问：当收绳速度为米/秒时，船的速度、加速度各是多少？ 解：、h、s三者构成了直角三角形，由勾股定理得 （1） 两端同时对时间求导，得，即 （2） 为绳长，按速度定义，即为收绳速度，船只能沿线在水面上行驶逐渐靠近岸壁，因而应为船速，将它们代入（2）式得船速 （3） 利用（1）式消去，得（m/s） （4） （注：原先是的函数，现改为的函数） （4）中，都是常数，只有s是变量。按加速度定义 将（4）式代入上式，得（m/s） （5） （这里的负号表明加速度的方向与x轴的正向相反） *5．飞机俯冲时机翼影子的速度 一架飞机沿抛物线的轨道向地面俯冲，如图所示，轴取在地面上。机翼到地面的距离以100m/s的固定速度减少。问机翼离地面2501米时，机翼影子在地面上运动的速度是多少（假设太阳光线是铅直的） 解：机翼到地面的距离以100m/s的速度递减，所以机翼垂直下降的速度是（取负号是因为下降，方向向下）。 因为太阳光是垂直的，所以机翼影子在地面的运动速度就是飞机机翼的水平速度，故本题是求当时，=？ 等式 （1） 两边对t求导，得 （2） 由（1），有，当时，. 把，代入（2）即得=1（m/s） *6．如何选择最优批量 某工厂生产某型号车床，年产量为台，分若干批（每一批台数相同）进行生产，每批生产准备费为元，设产品均匀投入市场，且上一批用完后立即生产下一批（不考虑生产需要的时间），即平均库存为批量的一半。设每年每台库存费为元。显然，生产批量大则库存费高，生产批量少则批数增多，因此生产准备费高。如何选择批量，才能使一年中库存费与生产准备费的和最小。 解：设批量为，库存费与生产费的和为，首先求出。 因年产量为，所以每年生产的批数为，则生产准备费为， 因年库存量为，故年库存费为，因此可得 ， 其次，在不考虑生产能力的条件下，问每批生产多少台（即批量）时，为最小？ 这是一个一元函数极值问题，对求导得 ，令，得，舍去负根，得驻点， 又因，因此，当时，取得极小值即最小值。 于是得出：要使一年中库存费与生产准备费之和最小的最优批量应为。 7．您的书写灯应该挂多高 一个灯泡吊在半径为r的圆桌的正上方，桌上任一点受到的照度与光线的入射角的余弦值成正比（入射角是光线与桌面的垂直直线之间的夹角），而与光源的距离平方成反比。欲使桌子的边缘得到最强的照度，问灯泡应挂在桌面上方多高？ 解：如图，在桌子边缘处的照度，其中为比例常数，为灯到桌子边