宜昌市数学中考题23题 2009.doc

宜昌市数学中考题第23题 2009---2012年 23．已知：如图1，把矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边DC上的动点P重合(P不与点D，C重合)， MN为折痕，点M，N分别在边BC， AD上，连接AP，MP，AM， AP与MN相交于点F．⊙O过点M，C，P． (1)请你在图1中作出⊙O(不写作法，保留作图痕迹)； (2)与 是否相等？请你说明理由； (3)随着点P的运动，若⊙O与AM相切于点M时，⊙O又与AD相切于点H． 设AB为4，请你通过计算，画出这时的图形．(图2，3供参考) （11分） 图1 图2 图3 （第23题） 23．解：(1)； （1分） (2)与不相等． 假设，则由相似三角形的性质，得MN∥DC． (2分) ∵∠D=90°，∴DC⊥AD，∴MN⊥AD． ∵据题意得，A与关于MN对称，∴MN⊥A． ∵据题意，与D不重合， ∴这与“过一点（A）只能作一条直线与已知直线（MN）垂直”矛盾． ∴假设不成立． ∴不成立． （3分） (2) 解法2：与不相等． 理由如下： ∵P， A关于MN对称，∴MN垂直平分AP． ∴cos∠FAN=． (2分) ∵∠D=90°， ∴cos∠PAD=． ∵∠FAN=∠PAD，∴=． ∵P不与D重合，P在边DC上;∴AD≠AP． ∴≠;从而≠． (3分) (3)∵AM是⊙O的切线，∴∠AMP=90°， ∴∠CMP＋∠AMB=90°． ∵∠BAM＋∠AMB=90°，∴∠CMP=∠BAM． ∵MN垂直平分，∴MA=MP， ∵∠B=∠C=90°， ∴△ABM≌△MCD． (4分) ∴MC=AB=4， 设PD=x，则CP=4－x， ∴BM=PC=4－x． (5分) 连结HO并延长交BC于J．( 6分) ∵AD是⊙O的切线，∴∠JHD=90°． ∴矩形HDCJ． (7分) ∴OJ∥CP， ∴△MOJ∽△MPC， (8分) ∴OJ:CP=MO:MP=1:2， ∴OJ=(4－x)，OH=MP=4－OJ=(4＋x)． (9分) ∵MC2= MP2－CP2，∴(4＋x)2－(4－x)2=16． (10分) 解得:x=1．即PD=1，PC=3， ∴BC=BM+MC=PC+AB=3+4=7． 由此画图(图形大致能示意即可)． (11分) （3）解法2： 连接HO，并延长HO交BC于J点，连接AO．（4分） 由切线性质知，JH⊥AD，∵BC∥AD，∴HJ⊥BC， ∴OJ⊥MC，∴MJ=JC． （5分） ∵AM，AH与⊙O相切于点M，H， ∴∠AMO=∠AHO=90°， ∵OM=OH， AO=AO， ∴Rt△AMO≌Rt△AHO． (6分) ∴设AM=x，则 AM=AH=x， 由切线性质得，AM⊥PM， ∴∠AMP=90°，∴∠BMA+∠CMP=90°． ∵∠BMA+∠BAM=90°，∴∠BAM=∠CMP ， ∵∠B=∠MCP=90°， ∵MN为AP的中垂线，∴AM=MP． ∴△ABM≌△MCP ． (7分) ∴四边形ABJH为矩形，得BJ=AH=x，(8分) Rt△ABM中，BM=， ∴MJ==JC，（9分） ∴AB=MC．∴4=2()，∴ （10分） ∴AD=BC==7， ∴PC==3． 由此画图(图形大致能示意即可)．（11分） 的两个实数根，设过D,E,F三点的⊙O的面积为,矩形PDEF的面积为。 （1）求证：以a+h为边长的正方形面积与以a、h为边长的矩形面积之比不小于4； （2）求的最小值； （3）当的值最小时，过点A作BC的平行线交直线BP与Q，这时线段AQ的长与m , n , k的取值是否有关？请说明理由。（11分） 23．解：（1）据题意，∵. ∴所求正方形与矩形的面积之比： 1分 由知同号, 2分 说明:此处未得出只扣1分, 不再影响下面评分 3分 即正方形与矩形的面积之比不小于4. （2）∵∠FED=90o,∴DF为⊙O的直径. ∴⊙O的面积为：．4分 矩形PDEF的面积：． ∴面积之比： 设 , ，即时（EF=DE）, 的最小值为分 （3）当的值最小时，这时矩形PDEF的四边相等为正方形 过B点过BM⊥AQ，M为垂足，BM交直线PF于N点，设FP＝ e， ∵BN∥FE，NF∥BE,∴BN=EF,∴BN =FP =e. 由BC∥MQ,得：BM =AG =h. ∵AQ∥BC, PF∥BC, ∴AQ∥FP, ∴△FBP∽△ABQ. 8分 （说明：此处有多种相似关系可用，要同等分步骤评分） ∴,……9分